Уравнение неразрывности или сплошности (уравнение расхода)

Уравнение неразрывности – это частный случай уравнения сохранения массы жидкости во времени для изолированной системы .

Условимся считать что жидкость, втекающая в выделенный объем в виде параллелепипеда через первую грань вдоль оси будет положительна, а вытекающая через вторую грань будет отрицательна.

Рис. 4.6 К выводу дифференциального уравнения сплошности

Изменение массы жидкости вытекающей из второй грани вдоль оси за время из параллелепипеда составит:

(4.21)

Аналогично на все координатные оси

(4.22)

Суммарное изменение массы внутри элементарного параллелепипеда за счет разности приносимой потоком в параллелепипед и уносимой из него массы по трем координатам и за время составит

( 4.23)

Из математики известно, что:

Изменение массы в неизменном объеме возможно только тогда, когда меняется плотность жидкости.

Изменение плотности по координатам с течение времени будет:

Откуда

(4.24)

Сгруппировав слагаемые, получим уравнение неразрывности или сплошности:

(4.25)

Для несжимаемой жидкости , тогда расход по длине струйки тока не меняется в данный момент времени и имеет одно и тоже значение.

(4.26)

Уравнения (4.26) называются уравнениями неразрывности (расхода) в гидравлической форме для несжимаемой жидкости.