Стаціонарні та критичні точки.

Точки, що належать області визначення функції, в яких перша похідна перетворюється в нуль або зазнає розриву, називаються критичними точками І роду (або стаціонарними).

Якщо при переході через критичну точку похідна змінює знак з мінуса на плюс, то функція має в точці мінімум, і максимум, коли похідна змінює знак з плюса на мінус. Якщо ж при переході через критичну точку похідна не змінює знака, то функція в точці не має екстремуму.

Правило знаходження екстремумів функції за допомогою першої похідної.

1. Знайти похідну .

2. Знайти критичні точки І роду.

3. Дослідити знак похідної в проміжках, на які знайдені критичні точки ділять область визначення функції . Критична точка є точкою мінімуму, якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс, і точкою максимума , якщо змінює знак з плюса на мінус. Якщо знак похідної не змінюється, то в точці функція екстремуму не має.

4. Обчислити значення функції в точках екстремуму.

Приклад 2. Дослідити на екстремум функцію

Розв’язання.

Знаходимо похідну функції Знаходимо критичні точки

Критичні точки ділять область визначення функції на проміжки, в кожному із яких знаходимо знак похідної

Знаходимо значення функції в точках екстремуму :

max; min.