Критерий Найквиста

В отличие от критериев Гурвица, Рауса и Михайлова, которые основаны на анализе характеристического уравнения системы, критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы. В этом заключается существенное преимущество критерия, т.к. построение АФХ разомкнутого контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев.

Имеется САУ:

здесь D_p(jw) – частотное характеристическое уравнение разомкнутой системы.

Найквист в своем критерии рассматривает вспомогательную функцию, определяемую по формуле

Примечание: Возьмем абстрактное комплексное число

.

Модуль этого числа будет равен произведению модулей каждого из множителей, а аргумент этого числа – сумме каждого из слагаемых.

Причем

.

Рассмотрим три случая.

1. Система в разомкнутом состоянии устойчива, это значит по Михайлову:

,

где п – порядок разомкнутой системы.

Частотное характеристическое уравнение разомкнутой системы также имеет порядок п, т.к. порядок числителя разомкнутой системы всегда меньше или равен порядку знаменателя разомкнутой системы ( ).

Если система в замкнутом состоянии тоже устойчива, то угол одинаковый

.

Рассмотрим изменения аргумента j при изменении частоты от 0 до ¥:

Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если изменение аргумента функции j(jw) при изменении частоты от 0 до ¥ составит ноль. Это возможно только в том случае, когда годограф не охватывает точку начала координат.

Система находится на границе устойчивости, если годограф, соответствующий амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы хотя бы один раз пересечет точку [-1;0].

2. Разомкнутая система неустойчива.

Замкнутая система устойчива, это значит, что изменение аргумента представляется формулой:

,

где k – количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы, находящихся в правой полуплоскости.

Изменение аргумента от 0 до ¥:

.

Изменение частоты от 0 до ¥ составит:

.

При анализе устойчивой системы, при неустойчивой разомкнутой системе будем считать положительным направлением годографа – против часовой стрелки. Отрицательным направлением годографа – по часовой стрелке, или снизу вверх при пересечении действительной оси. Тогда критерий Найквиста звучит так:

если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет k положительных корней характеристического уравнения, то система в замкнутом состоянии будет устойчива лишь в том случае, если разность между количеством положительных переходов и количеством отрицательных переходов отрезка действительной оси будет равна k/2, т.е. если годограф разомкнутой системы пересекает отрезок в положительном направлении в раз.

3. Разомкнутая система устойчива, замкнутая система неустойчива.

здесь п – количество корней замкнутой системы.

Если система в разомкнутом состоянии устойчива, а в замкнутом состоянии неустойчива, то годограф пересекает отрезок в отрицательном направлении в раз.

Объединяя все три случая, можно дать следующее определение критерию Найквиста:

Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов годографа разомкнутой системы отрезка действительной оси будет равна , где т – количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы, находящихся в правой полуплоскости.

Примеры:

1. т=2

Система неустойчивая.

2. т=5

Система устойчивая.