Алгебраический критерий устойчивости Гурвица (2 стр. 24-25)

Теорема Гурвица гласит: все корни уравнения

будут иметь отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда все диагональные определители главного определителя положительны.

Главный определитель определяется следующим образом:

1. По главной диагонали в порядке возрастания индексов выписываются все коэффициенты от а₁ до а_n.

2. Каждая из строк дополняется влево коэффициентами с убывающими индексами, вправо – с возрастающими.

3. На месте отсутствующих коэффициентов ставятся нули.

Таким образом, условием устойчивости (отрицательности действительных частей корней) по критерию Гурвица являются:

1. Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительны – необходимое условие.

2. Все диагональные определители должны быть >0 – достаточное условие, то есть:

Рассмотрим примеры:

1. Установить, устойчива ли система, если характеристическое уравнение её имеет вид:

а) - так как коэффициент а₃ = 0, то есть, не выполнено необходимое условие, то система неустойчива.

б) - - система не устойчива.

2. Определить, при каких k система будет устойчива:

а)

б)

;

итак .

Область значения параметра, при котором САР устойчива, называют областью устойчивости САР по этому параметру.

Существенные недостатки критерия Гурвица:

1. Критерий лишен наглядности, носит формальный характер и ничего не говорит о качестве устойчивости, то есть насколько далека система от границы устойчивости.

2. Коэффициенты или параметры, характеризующие физические свойства звеньев системы, входят зачастую в столь сложных комбинациях, что практически трудно установить, какие именно параметры и каких звеньев следует изменить, чтобы обеспечить устойчивость САР.

3. Необходимо иметь аналитические уравнения звеньев и всей системы, что не всегда удобно.