Частотный критерий устойчивости Михайлова

Заменим в полиноме А(р) на , тогда:

, где U – вещественная часть полинома ,

V – мнимая часть полинома .

Функция называется характеристическим вектором.

На комплексной плоскости он может быть представлен в виде вектора. При изменении от до вектор своим концом опишет в комплексной плоскости кривую, которая называется годографом Михайлова или характеристикой кривой. Поскольку функция является чётной функцией , а - нечётная, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси. Поэтому нет необходимости рассматривать весь годограф Михайлова, а достаточно рассмотреть лишь одну его часть, которая вычерчивает вектор при изменении от до . Тогда из уравнения (*) следует, что для установившейся системы приращение аргумента вектора при изменении от до должно быть:

Полученное выражение и есть частотный критерий устойчивости Михайлова, в математической форме. Словами его можно выразить так:

САР устойчива тогда и только тогда, когда характеристический вектор при изменении от 0 до последовательно обходит число квадратов, равное порядку характ-кого уравнения, нигде не обращается в нуль