Канонічне рівняння методу переміщень

Представимо рівняння (7.3) у розгорнутій формі. Для цього розглянемо конкретну систему (мал.7.6,а).

Її ступінь кінематичної невизначеності

,

де n_у — число невідомих кутів повороту вузлів; n_л — число невідомих лінійних переміщень вузлів.

Основну систему методу переміщень одержимо, вводячи два додаткових зв'язки, один з яких перешкоджає кутовому переміщенню вузла, а інший – лінійному (мал.7.6,б). В уведених зв'язках з'являються реактивні зусилля: момент — у затисненні і сила — у стержні. Рівняння, аналогічні рівнянням (4.3), у даному випадку мають вигляд

(7.4)

Замінимо реактивний момент R₁ сумою

Другий індекс у позначень реакцій указує на той вплив, що є причиною появи реакції, тобто R_1F — реактивний момент у введеному затисненні від дії зовнішнього навантаження (мал.7.6,в); R₁₁ — реактивний момент у введеному затисненні від повороту цього ж затиснення на кут Z₁; R₁₂ — реактивний момент у введеному затисненні від лінійного зсуву вузлів 1 і 2 на величину Z₂.

Реактивні моменти R₁₁ і R₁₂ від Z₁ і Z₂ можна замінити виразами

де r₁₁ — реактивний момент у затисненні від повороту цього ж затиснення на кут (тобто 1 радіан); r₁₂ — реактивний момент в веденому затисненні від зсуву по горизонталі вузла на величину (мал.7.6,г,д).

Після цієї заміни перше з рівнянь (7.4) одержимо у вигляді

(7.5)

Рис.7.6. Вибір основної системи методу переміщень

Виконуючи аналогічне перетворення другого рівняння (7.4), приведемо його до вигляду

У рівнянні (7.6) r₂₁ — реактивне зусилля у введеному стержні, що виникає від повороту затиснення на кут (мал.7.6,г); r₂₂ — реактивне зусилля в стержні від лінійного зсуву вузлів 1 і 2 на величину (рис.7.6,д); R_2F — реактивне зусилля в стержні від дії заданого навантаження (рис.7.6,в).

Фізичний зміст першого рівняння складається в запереченні моменту у введеному затисненні, а другого — у запереченні зусилля у введеному стержні. Разом ці рівняння утворять систему канонічних рівнянь методу переміщень для двічі кинематично невизначеної системи. У загальному випадку, при n невідомих, система канонічних рівнянь методу переміщень має вигляд

(7.7)

У рівняннях (7.7) коефіцієнти (реакції) …, розташовані на головній діагоналі, називаються головними; коефіцієнти називаються побічними, а вільні члени R_1F, R_2F, …, R_nF — вантажними реакціями. У цих рівняннях, так само як і в рівняннях методу сил, коефіцієнти при невідомих, розташовані симетрично щодо головної діагоналі, рівні один одному:

Система канонічних рівнянь методу переміщень відрізняється від аналогічної системи рівнянь методу сил тим, що замість коефіцієнтів і , що виражають переміщення в основній системі методу сил, в неї входять коефіцієнти і , що виражають реакції додаткових закріплень в основній системі методу переміщень, а замість невідомих зусиль — невідомі переміщення .