Розрахунок симетричних систем методом сил

Використання методу сил для розрахунку систем з високим ступенем статичної невизначеності зв'язано з розв’язанням спільної системи великої кількості лінійних рівнянь. Навіть самий економічних метод розв’язання таких систем — алгоритм Гауса — вимагає обчислювальних операцій (де n — число рівнянь, тобто ступінь статичної невизначеності системи), за умови, що всі коефіцієнти системи відмінні від нуля. У зв'язку з цим потрібно прагнути вибрати основну систему так, щоб якомога більше число побічних одиничних переміщень і вільних членів звернулося в нуль.

Основним засобом для досягнення цієї мети є використання симетрії. Стержнева система є симетричною, якщо симетричні не тільки осі й опорні закріплення (геометрична симетрія), але і жорсткості (пружна симетрія). При цьому зовнішнє навантаження може бути і несиметричним.

При виборі основної системи зайві невідомі варто вибирати у виді симетричних і зворотно симетричних зусиль. Симетричні невідомі створюють симетричні епюри моментів, а зворотно симетричні невідомі – кососиметричні епюри. Такі епюри мають властивість взаємної ортогональності, тобто результат їхнього перемноження дорівнює нулеві:

(6.14)

Ортогоналізація епюр може досягатися різними способами:

1) вибір симетричної основної системи; 2) вибір симетричних і зворотньосиметричних невідомих; 3) групування невідомих; 4) утворення жорстких консолей (спосіб пружного центру); 5) використання статично невизначеної основної системи; 6) розкладання довільного навантаження на симетричну й зворотньосиметричну складові.

Використання більшості цих способів буде розглянуто нижче на конкретних прикладах, тут же охарактеризуємо тільки спосіб, що полягає в застосуванні статично невизначеної основної системи. Для розрахунку статично невизначеної системи можна відкидати не всі зайві невідомі, а одне або три. При цьому зменшується число канонічних рівнянь. Так, розраховуючи n раз статично невизначену систему, можна не вирішувати n рівнянь, якщо як основну систему застосовувати систему зі ступенем статичної невизначеності n-1. Для визначення зусилля в i-му вилученому зв'язку досить вирішити лише одне рівняння

де і — переміщення по напрямку в основній, (n-1) раз статично невизначеній системі, викликувані зусиллям і зовнішнім навантаженням відповідно.

Отже, розглянутий спосіб вимагає, щоб попередньо були обчислені всі необхідні переміщення в статично невизначеній основній системі. Для цього необхідно заздалегідь мати епюри внутрішніх зусиль від дії на статично невизначену основну систему одиничних невідомих і заданого зовнішнього навантаження. Якщо ж таких епюр немає, то розрахунок не тільки не спроститься, але навіть може ускладнитися. Ця обставина різка обмежує практичну область застосування розглянутого способу.