Сутність методу

Як уже говорилося вище, у статично невизначених системах (на відміну від систем статично визначних) розподіл внутрішніх сил залежить від пружних властивостей елементів системи. Тому для визначення всіх зусиль у конструкції одних тільки рівнянь рівноваги недостатньо, і в загальному випадку потрібно додатково складати фізичні і геометричні рівняння, що описують умови деформації системи. При цьому якісь фактори вибирають у якості основних невідомих. Ці величини повинні цілком визначати напружено-деформований стан системи, тобто через них можна виразити всі інші невідомі.

Якщо в методі сил у якості таких основних невідомих вибираються внутрішні зусилля у фіксованих перетинах конструкції, то в методіпереміщень за основні невідомі приймаються переміщення фіксованих перетинів або вузлів системи. Число невідомих переміщень, прийнятих за основну, називається ступенем кінематичної невизначеності. Воно, узагалі кажучи, не зв'язано зі ступенем статичної невизначеності даної конструкції. Число і вид невідомих переміщень призначають так, щоб через них досить легко могли бути виражені всі інші фактори системи, зокрема внутрішні зусилля в її елементах.

Для ілюстрації сказаного розглянемо абсолютно жорсткий брус, підтримуваний чотирма однаковими стрижнями з жорсткістю на розтягання ЕА (мал.7.1,а). Така система є тричі статично невизначеною. У той же час подовження, а отже, і зусилля всіх стержнів цілком визначаються одним переміщенням, наприклад вертикальним переміщенням точки В, що позначимо через Z₁.

Рис.7.1. Тричі статично невизначена й один раз кінематично невизначена система

Ступінь статичної невизначеності залежить від числа вертикальних стержнів, у той час як ступінь кінематичної невизначеності такої системи залишається рівний одиниці при будь-якому числі стержнів.

Метод розрахунку таких систем, розглянутий у традиційному курсі опору матеріалів, також припускає використання картини деформацій системи, але не є методом переміщень. Тут же ми розглянемо розв’язання у формі, характерній для методу переміщень.

Визначимо зусилля в стержнях N₁, N₂, N₃, N₄, приймаючи в якості невідомого переміщення Z₁. Усунемо переміщення Z₁, ввівши по його напрямку додатковий зв'язок (мал.7.1,б). Сформовану в такий спосіб систему назвемо основною системою методу переміщень. Надамо введеному зв'язку примусовий зсув Z₁, що визначимо з умови рівності нулеві сумарної реакції R₁ у цьому зв'язку, тому що в дійсності сам зв'язок відсутній. Будемо вважати реакцію позитивною, якщо її напрямок збігається з прийнятим напрямком переміщення, і негативною — у противному випадку.

В основній системі від навантаження F реакція в зв'язку (мал.7.1,б). Від зсуву Z₁ для лінійно-пружної системи реакція в зв'язку пропорційна переміщенню Z₁. Представимо її в вигляді

,

де r₁1 – реакція від одиничного зсуву (мал.7.1,в). Відповідно до принципу суперпозиції умова відсутності повної реакції в приєднаному зв'язку має вигляд

(7.1)

або

(7.2)

Складаючи суму моментів щодо точки О (мал.7.1,в), знаходимо

З рівняння (7.2) одержимо

Зусилля в стержнях, показані на мал.7.1,в, знайдені від одиничного зсуву перемножуючи їх на фактичне переміщення Z₁, одержимо шукані значення сил:

Основне рівняння (7.2) виражає у відповідній формі умова рівноваги системи, що одержала під навантаженням F переміщення Z₁; інакше кажучи, це рівняння рівноваги системи, виражене через переміщення Z₁.

Аналогічні міркування можна провести і для рамних систем, де використання методу переміщень є особливо ефективним.

Розглянемо плоску раму (мал.7.2,а) у деформованому стані як сукупність окремих стержневих елементів, об'єднаних у вузлах. Деформований стан кожного елемента цілком визначається навантаженням, безпосередньо прикладеного до цього елемента, і переміщеннями його кінцевих перетинів. Окремі стержні, показані на мал.7.2,а, деформовані так само, як і в складі рами, що досягається зсувом кінцевих перетинів стержнів на величини, рівні переміщенням вузлів рами.

Якщо зневажити зміною довжин стержнів у процесі деформації, то в цілому деформований стан рами буде визначено трьома переміщеннями вузлів — горизонтальним лінійним зсувом ригеля Z₁ і кутами поворотів вузлів Z₂ і Z₃. Отже, ступінь кінематичної невизначеності рами дорівнює трьом.

Основна система з приєднаними зв'язками, усуваючими ці переміщення, показана на мал.7.2,б. Умовні защемлення, введені в вузли і їхні усуваючі кути поворотів називаються плаваючими защемленнями, тому що вважається, що, усуваючи поворот, вони не перешкоджають відповідному лінійному зсувові вузла. При усуненні зв'язку 1 рама деформується без повороту вузлів (мал.7.2,в).

Рівняння рівноваги рами, виражені через переміщення Z₁, Z₂ і Z₃ одержимо, прирівнюючи нулеві сумарні реакції в приєднаних зв'язках (зосереджена сила в лінійному зв'язку) і моменти в кутових зв'язках:

(7.3)

Рис.7.2. До розрахунку рам методом переміщень

Система рівнянь (7.3) є основною системою для розглянутої рами по методу переміщень. Для того щоб можна було розгорнути кожне з рівностей (7.3), потрібно попередньо вивчити роботу окремих стержнів, що складають основну систему, на вплив різних видів навантаження і зсувів опорних закріплень. Якщо попередньо обчислити реакції по кінцях стержнів від зазначених впливів, то, використовуючи принцип суперпозиції, кожну з повних реакцій (7.3) можна записати як суму доданків, що виражають кожен вплив окремо.

7.2 Допоміжна таблиця методу переміщень

Як було показано в попередньому параграфі, при розрахунку методом переміщень вихідна система шляхом введення додаткових зв'язків розділяється на ряд однопрогонових статично невизначених балок. Очевидно, що характер навантаження таких балок і способи закріплення їхніх кінців дають певний, постійний "набір" можливих варіантів, до визначеної сукупності яких приводить розрахункова схема будь-якої заданої системи. Тому доцільно заздалегідь розрахувати однопрогонові статично невизначені балки при різних навантаженнях і використовувати ці результати в міру необхідності. Звичайно такий "набір" можливих варіантів представляється в табличній формі (табл.7.1).

Розглянемо кілька прикладів, що ілюструють результати, зазначені у тих або інших рядках приведеної таблиці.

1. Завантаження зосередженою силою F однопрогонової балки з жорстким защемленням на одному кінці і шарнірно рухомим обпиранням на іншому (рядок 1 допоміжної таблиці).

Для розв’язання задачі використовуємо метод сил. Еквівалентна система, одинична і вантажна епюри для заданої схеми (рис.7.3,а) представлені на рис.7.3,б,в,г.

Рис.7.3. Розрахунок допоміжної балки методом сил

Канонічне рівняння методу сил:

Коефіцієнти канонічного рівняння знайдемо способом Верещагіна:

Таблиця 7.1

Допоміжна таблиця методу переміщень

№	Схема балки і навантаження	Епюра моментів і реакції
		;
		; ;
		;
		;
	Нерівномірне нагрівання	h – висота перетину

Таблиця 7.1 (закінчення)

Допоміжна таблиця методу переміщень

№	Схема балки й навантаження	Епюра моментів і реакції
	Нерівномірне нагрівання ;	h – висота перетину

Відзначимо, що при вказаних умовах закріплення кінців балки коефіцієнт не залежить від характеру зовнішнього впливу.

Тому що і, отже, те

Підставляючи й у канонічне рівняння, знаходимо

Тоді реакції лівої опори й опорний момент будуть

Остаточна епюра моментів для заданої, тепер уже статично визначної системи, навантаженої силами F і X₁ (рис.7.3,д), показана на рис.7.3,е.

2. Завантаження рівномірно розподіленим навантаженням q (рис.7.4,а) однопрогонової статично невизначеної балки (рядок 2 допоміжні таблиці).

Для розв’язання знову використовуємо метод сил. Епюра моментів від зовнішнього навантаження, прикладеного до основної системи, показана на рис.7.4,б. Одинична епюра моментів (і, відповідно, переміщення ) збігається з побудованою в попередньому прикладі (рис.7.3,в).

Рівняння методу сил і його коефіцієнти:

Рис.7.4. Однопрогонова балка під дією розподіленого навантаження

Тут при обчисленні використані епюри (рис.7.3,в) і (рис.7.4,б).

Реакція зайвого зв'язку

Реакція лівої опори

Опорний момент у лівій опорі одержимо, просумувавши момент у цьому перетині від навантаження q з моментом від X₁:

Напрямок опорних реакцій і моменту в защемлені показані на рис.7.4,в. Остаточна епюра моментів — на рис.7.4,г.

3. Переміщення защемлення на величину D по напрямку, перпендикулярному осі стержня (рис.7.5,а).

Епюра згинальних моментів в основній системі від зсуву D буде нульовою, тому нульовим буде вільний член рівняння методу сил.

А переміщення по напрямку Х₁ (рис.7.5,б) буде

D_1D=D,

і рівняння методу сил приймає вид

де має те ж значення, що і раніше.

Звідси знаходимо реакції й опорний момент :

Напрямки цих величин показані на рис.7.5,в, а остаточна епюра моментів — на рис.7.5,г.

При одиничному зсуві D=1 всі обчислені величини приймають значення, зазначені в рядку 4 допоміжної таблиці методу переміщень.

Аналогічним способом можна розрахувати однопрогонову балку на інші види впливів. Надавши читачеві можливість самостійно провести відповідні розрахунки, відзначимо тільки, що при розгляді балки з двома затисненими кінцями (рядки 6 – 10 допоміжної таблиці методу переміщень) доцільно вибирати основну систему, розрізаючи балку посередині прольоту. Такий розріз, як відомо, приводить до появи трьох зайвих невідомих у методі сил — повздовжньої і поперечної сил, а також згинального моменту. Однак при всіх розглянутих видах впливів (вертикальні навантаження, лінійні зсуви закріплень по нормалі до осі балки, поворот закладень) повздовжня сила буде дорівнює нулеві, тому розв’язок всіх задач приводить до системи двох канонічних рівнянь методу сил.

Рис.7.5. Зсув однієї з опор