Канонічні рівняння методу сил

Для одержання додаткових рівнянь, про які говорилося в попередньому параграфі, потрібно, насамперед, перетворити задану n раз статично невизначену систему в статично визначну, видаливши з неї зайві зв'язки. Отримана статично визначена система називається основною. Відзначимо, що перетворення заданої системи в статично визначну не є обов'язковим. Іноді використовується модифікація методу сил, у якій основна система може бути статично невизначеною, однак виклад цього питання виходить за рамки цього посібника. Усунення яких-небудь зв'язків не змінює внутрішні зусилля і деформації системи, якщо до неї прикласти додаткові сили і моменти, що представляють собою реакції відкинутих зв'язків. Виходить, якщо до основної системи прикласти задане навантаження і реакції вилучених зв'язків, то основна і задана системи стануть еквівалентними.

У заданій системі по напрямках наявних жорстких зв'язків, у тому числі і тих зв'язках, що відкинуті при переході до основної системи, переміщень бути не може, тому й в основній системі переміщення по напрямках відкинутих зв'язків повинні дорівнювати нулеві. А для цього реакції відкинутих зв'язків повинні мати строго визначені значення.

Умова рівності нулеві переміщення по напрямку будь-якої i-го зв'язку з n відкинутих на підставі принципу незалежності дії сил має вигляд

(6.1)

де перший індекс означає напрямок переміщення і номер відкинутого зв'язку, а другий указує на причину, що викликала переміщення, тобто — це переміщення по напрямку i-го зв'язку, викликане реакцією k-го зв'язку; — переміщення по напрямку i-го зв'язку, викликане одночасною дією всього зовнішнього навантаження.

У методі сил реакцію k-го зв'язку прийнято позначати через X_k. З урахуванням цього позначення і у силу справедливості закону Гука переміщення можна представити у вигляді

(6.2)

де — одиничне (або питоме) переміщення по напрямку i-го зв'язку, викликане реакцією тобто реакцією, що збігається по напрямку з X_k, але рівне одиниці.

Підставляючи (6.2) у (6.1), одержимо

(6.3)

Фізичний зміст рівняння (6.3): переміщення в основній системі по напрямку i-го відкинутого зв'язку дорівнює нулеві.

Записуючи вирази, аналогічні (6.3), для всієї сукупності відкинутих зв'язків, одержимо систему канонічних рівнянь методу сил

(6.4)

Вид рівняння (6.4), тобто кількість доданків у кожному з них і їхнє загальне число, визначається тільки ступенем статичної невизначеності системи і не залежить від її конкретних особливостей.

Коефіцієнти системи канонічних рівнянь (6.4) визначаються методом Мора-Верещагіна шляхом перемножування відповідний епюр. Усі ці коефіцієнти, як вказувалося вище, являють собою переміщення; коефіцієнти, що знаходяться при невідомих — одиничні переміщення, а вільні члени — вантажні. Одиничні переміщення поділяються на головні, розташовані по головній діагоналі й однакові індекси, що мають ( ), і побічні ( ). Головні переміщення завжди позитивні, на відміну від побічних. Симетрично розташовані переміщення відповідно до теореми про взаємність переміщень рівні один одному, тобто