Устойчивость состояния равновесия линейной системы с одной степенью свободы

В общем случае такая система описывается двумя уравнениями;

, (6.5)

все будем считать постоянными и предполагать, что детерминант

(6.6)

отличен от нуля. Состояние равновесия системы определим из условия:

; .

Тогда

. (6.7)

Корнями этого алгебраического уравнения служат координаты точек равновесия. Вводят координаты

, (6.8)

которые характеризуют отклонение от состояния равновесия, приведем уравнение (6.5) к виду:

. (6.9)

Состояние равновесия соответствует началу координат , . Для исследования его устойчивости проинтегрируем уравнение (6.9) и, анализируя и , проследим, куда движется система со временем: к состоянию равновесия или от него.

Уравнение (6.9) линейное и решение ищем методом Эйлера. Пусть

, (6.10)

где - пока неизвестные постоянные.

Подставляя в (6.9) и сокращая на , получим;

. (6.11)

Эта система имеет решение , только при условии

. (6.12)

Раскрывая детерминант, имеем

. (6.13)

Получим характеристическое уравнение системы. Обозначим

, (6.14)

, (6.15)

тогда характеристическое уравнение примет вид:

, (6.16)

Отсюда

. (6.17)

Двум значениям и соответствуют два частных решения. Как известно, общее решение записывается как сумма частных;

. (6.18)

Постоянные коэффициенты выражаются через из уравнений (6.7), а сами постоянные определяются из начальными условиями.

В любую из координат входят экспоненциальные члены, содержащие оба характеристических корня. Посмотрим, как ведут себя координаты при различных и .

1. Пусть , тогда корни действительные, разных знаков . Условие означает, что экспонента растет. Любая координата при уходит в бесконечность ( ), т.е. удаляется от точки равновесия. Следовательно, система неустойчива. На фазовой плоскости этот случай соответствует особой точке типа седло.

2. Пусть и . Тогда корни получаются чисто мнимыми и комплексно-сопряженными

, (6.19)

где .

Решение соответствует периодическим колебаниям

. (6.20)

Колебания происходят около состояния равновесия, в ограниченной области (устойчивость по Ляпунову). На фазовой плоскости будет особая точка типа центр.

3. Пусть . Получаем два комплексно- сопряженных корня

, (6.21)

где .

Решения имеют вид:

. (6.22)

Поскольку не превышает 1, то поведение определяется множителем . Если , любая из координат стремится со временем к нулю (т.е. состоянию равновесия). На фазовой плоскости равновесию соответствует особая точка типа устойчивый фокус. Состояние равновесия асимптотически устойчиво.

Если , координата уходит со временем в бесконечность, равновесие неустойчиво (на фазовой плоскости особая точка типа неустойчивый фокус).

4. И последний возможный случай , но .

Корни (6.17) действительные, различные, и знаки определяются знаком . Если , то и . Это означает, что , так как при . Состояние равновесия асимптотически устойчиво (соответствует устойчивому узлу).

Если , то и , то стремится к бесконечности (на фазовой плоскости особая точка типа неустойчивый узел).

Подведем итоги. Состояние равновесия линейной системы асимптотически устойчиво, если реальные части корней характеристического уравнения отрицательные . Для этого (см. 3 и 4) необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты характеристического уравнения (6.16) были положительны . Если , состояние равновесия неустойчиво. Для этого достаточно, чтобы хоть один из коэффициентов или был отрицательным.

Если , но , равновесие устойчиво по Ляпунову.

Полученные выводы наглядно отображаются на диаграмме особых точек (Рис.43). В качестве осей выбираются значения коэффициентов и характеристического уравнения (6.16) линейной системы. Вся плоскость разбивается на области, соответствующие разным типам движения.

Какие практические выводы следуют из этой диаграммы. Например, невозможно сразу перейти от особой точки типа седло к особой точке типа фокус.

Параметры и зависят от конкретных параметров системы. Каждая точка на диаграмме соответствует определенной совокупности реальных параметров.

Центры на диаграмме занимают линию. Для того, чтобы попасть в особую точку типа центр, нужно отдельно подбирать параметры, что практически реализовать невозможно.

В связи с этим вводятся понятия грубой и негрубой системы. Система грубая, если характер движения ее нечувствителен к малому изменению параметров системы (например, колебательный контур с различными, но малыми потерями).

Система негрубая, если тип движения резко меняется при малом изменении параметра. Примером может служить гармонический осциллятор. На практике может реализовываться грубая система.

В заключении, несколько слов о бифуркации.

Бифуркация – это изменение характера движения колебательной системы. На диаграмме особых точек бифуркация соответствует смене типа особой точки. Такая смена происходит при изменении некоторого параметра системы. Соответствующий параметр называется бифуркационным.