Фазовый портрет системы с кулоновским трением

Рассмотрим систему с кулоновским трением, используя метод фазовой плоскости. На этом примере можно проиллюстрировать, как хорошо сочетается метод фазовой плоскости и метод сшивания.

Найдем фазовый портрет системы с сухим трением. Уравнение системы (5.39)

при ,

при . (5.39)

Повторим выкладки, которые имели место для гармонического осциллятора, получим уравнения фазовых траекторий

(5.40)

где - константы, определяемые из начальных условий.

Видно (Рис.37), что фазовые траектории рассматриваемой системы составлены из половин эллипсов, причем в верхней полуплоскости центры эллипсов расположены в точке (_а, 0), а в нижней – в точке (а, 0). Нетрудно построить фазовую траекторию, соответствующую определенному начальному условию, если воспользоваться методом сшивания.

Пусть точка является начальной через нее проходит эллипс с центром в (-а,0). Изображающая точка должна двигаться по нему слева направо. В точке у=0, скорость меняет знак и дальнейшее движение должно описываться эллипсом, центр которого в (+а,0). Точка является для него начальной. Очевидно, что в точке сшиваются две разные траектории. Двигаясь по дуге , приходим в точку , где скорость вновь меняет знак. Точка является начальной для эллипса в верхней полуплоскости и т.д. Движение прекращается, когда изображающая точка попадает на отрезок .

Взяв другое начальное значение, получим соответствующую фазовую траекторию. В качестве примера возьмем то начальное значение, которое исследовалось аналитически: , .

Видно, что фазовые траектории имеют вид спиралей, а изображающая точка стремится к состоянию равновесия.

В заключении проиллюстрируем эффективность метода сшивания на фазовой плоскости на примере исследования свободных колебаний в контуре с диодом. (Рис.38).

Считаем диод идеальным, т.е. он работает как ключ, который замыкает цепь при прямом напряжении и размыкает - при обратном.

При рассмотрении колебаний можно четко выделить два этапа, которым соответствуют две эквивалентные схемы, подробно изученные ранее (Рис.39).

На фазовой плоскости , 1 этап соответствует верхней полуплоскости т фазовые траектории – полуэлипсы; 2 этап соответствует нижней полуплоскости и траектории- отрезки спиралей. При траектории сшиваются.

Легко видеть, что состоянию равновесия соответствует особая точка типа фокус (Рис.40).