Геометрические приложения определенного интеграла.

  1. Вычисление площадей плоских фигур.

 

Вспомним, каким образом вводилось понятие определенного интеграла. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой (при f(x) ≥ 0) сумму площадей прямоугольников с основанием и высотой . Переходя к пределу при |τ|→0, получаем, что при представляет собой площадь так называемой криволинейной трапеции 1В1b, то есть фигуры, ограниченной частью графика функции

у

у

y=f(x) y=f2(x)

A1 B1

       
   

 


y=f1(x)

 

a b х a b x

 

Рис. 1 Рис. 2

 

f(x) от х = а до x = b и отрезками прямых х = а, x = b и у = 0 (рис. 1):

. (13.3)

Если требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций: f1(x) и f2(x) (рис. 2), то ее можно рассматривать как разность площадей двух криволинейных трапеций: верхней границей первой из них служит график функции f2(x), а второй – f1(x). Таким образом, . (13.4)

Замечание 1. Формула (13.4) справедлива, если графики функций f1(x) и f2(x) не пересекаются при a < x < b.

Замечание 2. Функции f1(x) и f2(x) могут при этом принимать на интервале [a,b] значения любого знака.

 

Пример.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x² - 3x – 5 и y = x – 5.

Найдем абсциссы точек пересечения указанных графиков, то есть корни уравнения x² - 3x – 5 = x – 5. x² - 4x = 0, x1 = a = 0, x2 = b = 4. Таким образом, найдены пределы интегрирования. Так как на интервале [0,4] прямая y = x – 5 проходит выше параболы у = x² - 3x – 5, формула (13.4) примет вид:

 

Лекция 14.








Дата добавления: 2015-03-19; просмотров: 1152;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.