Рациональные дроби.
Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q. Любую неправильную дробь можно представить в виде: , где P(z) = Q(z) S(z) + R(z), a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z). Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.
Лемма 1. Если - правильная рациональная дробь и z0 – корень ее знаменателя кратности k, т.е. то существуют число А и многочлен P1(z) такие, что
, (8.4)
где последнее слагаемое является правильной дробью.
Доказательство.
. При этом последнее слагаемое является правильной дробью. Выберем число А так, чтобы z0 было корнем многочлена P(z) – AQ1(z), то есть . Тогда по теореме Безу . Лемма доказана.
Замечание. Если коэффициенты многочленов Р и Q и выбранный корень знаменателя – действительные числа, то и коэффициенты многочленов P1 и Q1 – тоже действительные числа.
Теорема 8.3. Если - правильная рациональная дробь и , то существуют такие комплексные числа что
. (8.5)
Доказательство.
Применив k1 раз лемму 1 к дроби , получим:
где . Применяя затем ту же лемму к остальным корням знаменателя, придем к формуле (8.5).
Лемма 2. Пусть Р(х) и Q(x) – многочлены с действительными коэффициентами, причем Q(x) = ( x² + px + q)m Q1(x), где p² - 4q < 0. Тогда существуют такие действительные числа В, С и многочлен с действительными коэффициентами Р1(х), что
(8.6)
где последнее слагаемое тоже является правильной дробью.
Доказательство.
(8.7)
где последнее слагаемое является правильной дробью. Выберем В и С такими, чтобы число z0 =x0 +iy0 (корень многочлена z² + pz + q) было корнем многочлена P(х)-(Bх+C)Q1(х). Можно показать, что при этом где .
Следовательно, В и С – действительные числа, а z0 и (число, комплексно сопряженное z0) – корни многочлена P(х)-(Bх+C)Q1(х). Тогда по теореме Безу он делится на
. Поэтому последнюю дробь в равенстве (8.7) можно сократить на x² + px + q и получить равенство (8.6).
Используя эту лемму, можно доказать следующую теорему:
Теорема 8.4. Если - правильная рациональная дробь, а
где то существуют такие действительные числа
что
. (8.8)
Примеры.
1. . Полученная дробь должна совпадать с исходной при любых х, следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях обеих дробей должны быть равными. Отсюда , то есть А = 1, В = -1. Следовательно, исходную дробь, знаменатель которой имеет только действительные корни (причем простые, то есть кратности 1) можно представить в виде: .
2.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях, получаем:
, откуда А = 1, В = -3, С = 3, D = 5. Таким образом, данную дробь, знаменатель которой имеет действительный корень х = 0 кратности 2 и комплексно сопряженные корни преобразуем в сумму дробей:
.
Лекция 9. Интегрирование простейших и произвольных правильных дробей. Интегрирование произвольных рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
В пошлой лекции было показано, что любую правильную рациональную дробь можно представить в виде линейной комбинации дробей вида:
1) , 2) , 3) , 4) . (9.1)
Эти дроби называются простейшими (или элементарными) дробями. Выясним, каким образом они интегрируются.
1)
2) (9.2)
3) (9.3)
Сделаем замену и обозначим . Тогда требуется вычислить интеграл
(9.4)
4) При интегрировании простейших дробей последнего типа воспользуемся той же заменой, что и в предыдущем случае, и представим подынтегральное выражение в виде:
где Рассмотрим отдельно способ интегрирования In .
. (9.5)
Таким образом, получена рекуррентная формула, позволяющая в конечном счете свести вычисление этого интеграла к
Итак, интеграл от любой простейшей дроби находится в явном виде и является элементарной функцией.
Теорема 9.1. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.
Доказательство.
Представим рациональную дробь в виде: (см. лекцию 8). При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 8.4 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S(x) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.
Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.
Пример.
Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
Из ранее доказанного следует, что любую рациональную дробь можно проинтегрировать, поэтому в дальнейшем будем считать задачу интегрирования функции выполненной, если удается представить эту функцию в виде рациональной дроби. В частности, для интегралов вида , где R – рациональная функция (многочлен или рациональная дробь), r1 ,…,rn – дроби с одним и тем же знаменателем m , а , замена приводит к . Таким образом, х является рациональной функцией t, следовательно, его производная тоже будет рациональной функцией. Кроме того, - тоже рациональные функции от t (так как pi – целое число). Поэтому после замены подынтегральное выражение примет вид R1 (t)dt , где R1 – рациональная функция, интегрируемая описанными выше способами.
Замечание. С помощью подобных замен можно интегрировать функции вида , и, в частности,
Примеры.
1. Сделаем замену , тогда , а . Следовательно,
2. . Так как , а , выберем в качестве новой переменной . Тогда . Поэтому
Лекция 10. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Интегрируемость в элементарных функциях.
Рассмотрим интегрирование некоторых тригонометрических выражений.
1. Интегралы вида вычисляются с применением формул (10.1) Пример.
2. Интегралы вида , где т и п – целые числа, интегрируются с помощью замен: а) если хотя бы одно из чисел т,п – нечетное (например, т), можно сделать замену t = sin x (или t = cos x при нечетном п). Пример 1. Пример 2. б) если т и п – четные положительные числа, можно понизить степени тригонометрических функций с помощью формул . Пример. в) если т и п – четные и хотя бы одно из них отрицательно, можно применить замену t = tg x или t = ctg x. Пример.
3. Интегралы вида где R – рациональная функция, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: , тогда , (10.2) то есть все составляющие подынтегрального выражения представляют собой рациональные функции от t. Пример. Если подынтегральная функция имеет вид R (sin²x, cos²x), можно выбрать замену t = tg x. При этом , (10.3) и степень полученной рациональной функции будет ниже, чем при универсальной тригонометрической подстановке, что облегчает дальнейшее интегрирование. Пример.
Интегрирование квадратичных иррациональностей.
При вычислении интегралов свести подынтегральную функцию к рациональной помогают замены:
а) при этом dx = acos t dt, .
б) tg t, тогда ,
в) соответственно
Пример 1. Вычислим интеграл Пусть тогда
Заметим, что
. Поэтому ответ можно представить в виде:
Пример 2. Для вычисления интеграла выберем замену x = 3tg t. При этом
, где u = sin t . Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, получим:
(Учитываем, что ).
Пример 3. Вычислим интеграл с помощью замены . Тогда
Интегрируемость в элементарных функциях.
В предыдущих лекциях рассмотрены методы интегрирования некоторых элементарных функций. Однако далеко не все элементарные функции интегрируемы, то есть имеют первообразные, также являющиеся элементарными функциями. В качестве примеров можно привести функции и другие. Этим операция интегрирования отличается от дифференцирования, при котором производная любой элементарной функции является тоже элементарной функцией. Для отыскания интегралов от функций, не имеющих элементарной первообразной, вводятся и используются новые классы функций, не являющихся элементарными.
Лекция 11.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Теорема о среднем для определенного интеграла.
Для решения многих задач из различных областей науки и техники требуется применение определенного интеграла. К ним относятся вычисление площадей, длин дуг,
объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. Определим это понятие.
Рассмотрим отрезок [a, b] оси Ох и определим понятие разбиения этого отрезка как множества точек xi : a=x1 < x2 <…< xn-1 < xn=b. При этом точки xi называются точками
. y
y=f(x)
x
х0=а x1 хп-1 хп=b
разбиения, отрезки [xi-1, xi] – отрезками разбиения (их длины обозначаются Δxi), а число
| τ | = max ( Δx1, Δx2,…, Δxn )
называется мелкостью разбиения.
Пусть на [a,b] задана функция y = f(x). Выберем на каждом отрезке разбиения по точке ξi и составим сумму вида
, (11.1)
называемую интегральной суммой функции f(x). Если f(x) > 0, такая сумма равна сумме площадей прямоугольников с основаниями Δxi и высотами f(ξi ).
Определение 11.1. Если для любого разбиения отрезка [a, b] существует один и тот же конечный предел интегральных сумм при и :
= I , (11.2)
то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b ], а число I называется определенным интеграломf(x) на [a, b] и обозначается Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Кроме того, определение определенного интеграла дополняется следующими утверждениями:
1) , 2)
Теорема 11.1 (необходимое условие интегрируемости). Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на нем.
Доказательство. Пусть f (x) интегрируема на [a,b] и . Зафиксируем какое-либо ε, например, ε = 1. По определению 11.1 существует такое δ > 0, что для любой интегральной суммы στ, соответствующей разбиению, для которого |τ| < δ, верно неравенство | στ – I | < 1, откуда I – 1 < στ < I + 1, то есть множество интегральных сумм функции f (x) ограничено.
Если предположить при этом, что f (x) неограничена на [a,b], то она неограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения. Тогда произведение f (ξi)Δxi на этом отрезке может принимать сколь угодно большие значения, то есть интегральная сумма оказывается неограниченной, что противоречит условию интегрируемости f (x).
Замечание. Условие ограниченности функции является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости. В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле
f (x) = 1, если х рационально, и f (x) = 0, если х иррационально. Для нее на любом отрезке [a,b] и при любом разбиении на каждом отрезке Δxi найдутся как рациональные, так и иррациональные значения х. Выбрав в качестве ξi рациональные числа, для которых f (ξi )= 1, получим, что = b – a. Если же считать, что ξi – иррациональные числа, то = 0. Следовательно, предел интегральных сумм не существует, и функция Дирихле не интегрируема ни на каком отрезке.
Дата добавления: 2015-03-19; просмотров: 984;