Извлечение корня из комплексного числа.

Определение 7.7. Комплексное число называется корнем n-й степенииз z, если z = z1n.

Из определения следует, что . Так как аргумент комплексного числа определен не однозначно, можно получить n различных значений для аргумента z1: , где φ0 одно из значений arg z, а k = 1, 2,…, n-1. Окончательно формулу, задающую все значения , можно записать в виде:

(7.3)

Пример. Число z = 16 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: z = 16(cos0 + isin0). Найдем все значения :

 

Показательная форма комплексного числа.

Введем еще одну форму записи комплексного числа. На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями, задаваемая формулой Эйлера:

, (7.4)

справедливость которой будет доказана в дальнейшем. Используя эту формулу, можно получить из (7.1) еще один вид комплексного числа: (7.5)

 

Определение 7.8. Запись вида (7.5) называется показательной формой записи комплексного числа.

Представление (7.5) позволяет легко интерпретировать с геометрической точки зрения операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, используя известные свойства показательной функции.

 

Лекция 8.

Многочлены и их корни. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители в поле комплексных чисел. Простые и кратные корни многочлена. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Рациональные функции. Деление многочленов, выделение целой части рациональной функции. Правильные рациональные функции, их разложение на простейшие.

 

Рассмотрим в комплексной области многочлен, то есть функцию вида

, (8.1)

где - комплексные числа. Числа называются коэффициентами многочлена, а натуральное число n – его степенью.

 

Определение 8.1. Два многочлена Pn (z) и равнытогда и только тогда, когда m=n, a0 = b0 , a1 = b1 ,…, an = bn .

Определение 8.2. Число z0 называется корнем многочлена (8.1), если Pn (z0) = 0.

 

Теорема 8.1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена Pn(z) на z – z0 ( z0 – не обязательно корень многочлена) равен P(z0).

Доказательство. Разделив P(z) на z – z0 , получим: P(z) = Q(z)(z – z0) + r, где число r – остаток от деления, а Q(z) – многочлен степени, меньшей n. При подстановке в это равенство z = z0 найдем, что r = P(z0), что и требовалось доказать.

 

Теорема 8.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен в комплексной области имеет корень (без доказательства).

 








Дата добавления: 2015-03-19; просмотров: 1343;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.008 сек.