Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа удобно производить тогда, когда комплексное число задано в тригонометрической форме.

Пусть z = r (cos j + i sin j). Найти zⁿ – значит повторить сомножителем z n раз. Тогда на основании известных правил умножения комплексных чисел, будем иметь:

zⁿ = [ r (cos j + i sin j)]ⁿ = rⁿ (cos n j + i sin n j);

zⁿ = rⁿ × (cos n j + i sin j) (3)

Формула (3) называется формулой Муавра и показывает, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Число w называется корнем степени n из числа z,если wⁿ = z.

w = S (cos + i sin ); z = r (cos j + i sin j);

[S (cos + i sin )]ⁿ = r (cos j + i sin j)

Sⁿ (cos n + i sin n ) = r (cos j + i sin j).

Два комплексных числа в тригонометрической форме равны, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2p.

r = Sⁿ Þ S = ;

n = j + 2kp ; = ;

),

где k = 0, 1, 2… (n – 1).

Придавая k n различных значений 0, 1, 2… (n – 1), получим n различных значений корня.

Для контроля усвоения задать вопрос: Выполнить действия:

1. ( - i)⁹. Ответ: 512 i

2. .

Ответ: z₀ = + i , z₁ = - +i , z₂ = - -i , z₃ = -i .

Вывод: Таким образом, с помощью формулы Муавра можно извлечь корень из комплексного числа и возвести его в любую степень. При извлечении корня из комплексного числа необходимо находить все значения результата. Количество ответов равно степени корня.