Алгоритмы уточнения корня

3.3.2 Алгоритм уточнения корня методом половинного деления

Сущность метода.Пусть каким-либо методом найден отрезок изоляции корня [а; b] уравнения F(х) = 0, где F(х) - непрерывна на участке [a; b], (а)*F(b) < 0. В дальнейшем требуется сузить этот отрезок так, чтобы его длина стала не больше заранее заданной точности вычисления корня e, то есть чтобы |b - a| £ e.

Этот процесс сужения интервала, содержащего изолированный корень уравнения F(х) = 0, называется уточнением корня.

В этом алгоритме отрезок изоляции корня [а; b] точкой с = делят пополам и вычисляют значение F(c). Если F(c) = 0, то с - значение искомого корня уравнения, и задача решена. Если F(c) ¹ 0, то искомый корень уравнения содержится в одном из двух отрезков [a; c] или [c; b], на концах которого функция F принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок через [a1, b1], его длина b1-a1 = . С отрезком [a1, b1] поступают точно так, как и с отрезком [a, b]. Этот процесс последовательного деления отрезка пополам продолжают до тех пор, пока не произойдет одно из двух:

§ либо найдется такая точка cn = , в которой F(cn) = 0 (что маловероятно!), и задача решена;

§ либо такой точки не найдется, но при некотором n придем к отрезку [an, bn] длины bn - an = £ e, содержащему в себе искомый корень.

Тогда числа an и bn являются приближенными значениями искомого корня с требуемой точностью e соответственно с недостатком и с избытком. Однако лучше за приближенное значение искомого корня взять число сn = , погрешность которого не превышает .

3.3.3 Алгоритм уточнения корня методом хорд

Сущность метода. Пусть отрезок изоляции [a; b] корня х уравнения F(х) = 0 найден, причем для определенности пусть F(a) < 0, F(b) > 0 и F'(х) > 0. График функции y = F(х) проходит через точки A(a; F(a)) и B(b; F(b)) (рис. 1). Составим уравнение хорды АВ как прямой, проходящей через точки А и В:

y = kx + l;

F(a) = ka + l;

F(b) = kb + l;

k = ; l = F(a) - a

y=

y - F(a) = (x - a).

Рисунок 1 – Графическое представление метода хорд

далее находим абсциссу x1 точки пересечения хорды АВ с осью Ох, уравнение которой y = 0:

= x1 - a Þ x1 = a - .

Число x1 примем за первое приближение корня х*. Далее, применяя этот же прием к отрезку изоляции [x1; b], на концах которого функция F(x) принимает противоположные знаки, получим второе приближение корня x2:

x2 = x1 -

Этот процесс можно продолжать неограниченно. Описанный процесс называется методом хорд. В результате получим последовательность вложенных отрезков[a; b] É [x1; b] É [x2; b] É ... É [xn; b] É ...с неподвижным концом b. Последовательные приближения xn (n = 1, 2, ...) к точному значению корня х* вычисляются по формуле

(3)

называемой формулой метода хорд, и образуют монотонно возрастающую последовательность a = x0 < x1 < x2 < ... < xn < xn+1 < ... < b, ограниченную сверху числом b. По теореме Вейерштрасса эта последовательность имеет предел

xn = *.

Поскольку F(х) непрерывна на [а; b], то F(xn) = F( *).

Переходя теперь к пределу в равенстве (3), получаем

* = * -

откуда, так как b - , следует, что F( ) = 0. Но в связи с тем, что уравнение F(x) = 0 на отрезке [а; b]имеет единственный корень х*, то х* = х*.

Поскольку полученная последовательность (х„) сходится к корню уравнения х*, то любой ее член можно рассматривать в качестве приближенного значения корня. Практически последовательные приближения вычисляют до тех пор, пока не получат приближенное значение корня с требуемой точностью.

 

3.3.4Алгоритм уточнения корня методом касательных

 

Сущность метода.Пусть [а; b] отрезок изоляции корня х* уравнения F(х) = 0. И пусть для определенности F(a)<0, F(b)>0, F‘(x)>0 и F(x)>0, xÎ[а; b], то есть производные сохраняют постоянный знак (рис.2). Идея метода касательных, предложенного Ньютоном, сводится к замене небольшой дуги

Рисунок 2 – Графическое представление метода касательных

 

кривой у = F(х) касательной к кривой, проведенной в некоторой точке интервала [а; b]. Выберем, например, x0 = b, так как F(x0) ´ F¢¢(x0)>0, и в точке В(x0, F(х0)) проведем касательную к кривой у = F(х). Ее уравнение:

y - F(x0) = F¢(x0)(x - x0).'

Найдем теперь точку пересечения x1 касательной с осью Ох(у = 0):

0 - F(x0) = F¢(x0)(x1 - x0) Þ x1 = x0 -

Эту точку x1 принимаем за первое приближение искомого корня х*. Через точку С(x1; F(x1)) снова проведем касательную y - F(x1) = F‘(x1)(x - x1), абсциссу точки пересечения которой с осью Ох примем за второе приближение х2 корня х*. Имеем:

0 - F(x1) = F‘(x1)(x2 - x1) Þ x2 = x1 -

Продолжая этот процесс далее, получим рекуррентную формулу,

(8)

называемую формулой метода касательных.

Заметим, что если в рассматриваемом случае (F’(x) > О, F”(x) > О, F(b) > 0, F(а) < 0) касательную провести в точке А, то есть положить x0 = а, то точка пересечения ее с осью абсцисс может оказаться вне отрезка изоляции корня [a; b]. Это значит, что метод касательных неприменим, если в качестве начальной точки x0 выбрать такую, в которой F(x0) ´ F”(x0) < 0.

Как и в методе хорд, можно доказать (предлагаем читателю сделать это самостоятельно), что полученная числовая последовательность

x0>x1>x2>...>xn>xn+1>...>a

сходится к корню уравнения х*.

Для оценки погрешности приближения xn можно воспользоваться, как и в методе хорд, формулой

½x* - xn½ £ ½xn - xn-1½ £ e.

Анализируя возможные расположения кривой у = F(х)на отрезке изоляции, где последовательные приближения по методу касательных обозначены (i = 0,1,2...), получаем правило для использования метода касательных: в качестве начального приближения x0 выбирается тот конец отрезка изоляции (x0 = а или x0 = b), в котором выполняется условие

F(x0) F¢¢(x0) > 0 (9)

Пример 9. Методом касательных найти корень уравнения

F(x) =

на отрезке [1; 2] с точностью до e = 10-5.

Находим: F‘(x) = - F¢¢(x) = .

Применив формулу (8), имеем:

(n = 0, 1, 2, ...).

Выберем начальное приближение x0, используя условие (9). Имеем:

F(1) = < 0;

F(2) = > 0;

F¢¢(1) = > 0;

F¢(2) = >0.

Поскольку F(2)´F”(2) > 0, то касательную следует проводить в правом конце отрезка, то есть x0 = b = 2.

Последовательные приближения вычисляем на ЭВМ, заполняя табл. 7.

 

  Xn F(xn)= F‘(xn)=   ½xn – xn-1½
(2) - (5)   e-(2)+2×(2)
2,0 2,135335 3,864665 0,552528  
1,5 0,473130 2,776870 0,170382 0,5
1.38 0,033377 2,395523 0,013933 0,17
1,316 0,000062 2,363794 0,000026 0,014
1,8159738 0.0000005 2,3637346 0,0000002 0,0000262
1,3159736 - 0,0000005 2,3637342 -0,0000002 0,0000002

Если в качестве приближенного значения корня взять число 1,3159736, то невязка F(1,3159737) = - 0,0000003.

 

3.3.5 Комбинированный метод хорд и касательных

 

Сущность метода.Рассмотренные выше метод хорд и метод касательных (каждый в отдельности) позволяют приблизиться к корню уравнения лишь с одной стороны: либо слева (приближение с недостатком), либо справа (приближение с избытком), причем всегда, если формула хорд дает приближение корня с недостатком, то формула касательных — с избытком, и наоборот. Одновременное применение этих двух методов на каждом шаге дает возможность искомый корень уравнения взять в вилку и не выпускать его из нее до достижения заданной точности.

Рисунок 3 – Иллюстрация метода хорд и касательных

Пусть (рис.3) условие F( )×F«( ) > 0 выполняется в правом конце отрезка изоляции корня ( = b). Тогда последовательные значения с недостатком х0 = а, x1, x2, ... , xn, xn+1, ... вычисляют методом хорд:

xn+1 = xn - x0 = a(n = 0, 1, 2, ...), (10)

а последовательные значения корня с избытком

= b,

вычисляют методом касательных (8):

(11)

По формулам (10) и (11) вычисляют приближенные значения корня соответственно с недостатком и с избытком, причем для всех n xn < х* < хn.

Если при некотором n выполняется неравенство 0 < ½ ½ £ e то в качестве приближенного значения искомого корня с точностью e принимают среднее арифметическое значение полученных двусторонних приближений, то есть x = так как тогда½x - x*½ < ½ ½ £ e.

Если условие выполняется в левом конце отрезка изоляции корня, тогда

(12)

x0 = b (n = 0,1,2,...), (13)

то есть формула касательных дает приближение корня с недостатком, а формула хорд—с избытком.

Обращаем внимание читателя на следующее обстоятельство. Если в формулах (3) и (7) метода хорд (его иногда называют стационарным методом хорд) один конец отрезка изоляции корня в процессе вычислений все время оставался неподвижным, то в формулах (10) и (13) комбинированного метода хорд и касательных оба конца отрезка изоляции корня являются подвижными. На каждом шаге вычислений в качестве неподвижного конца формулы метода хорд используется приближенное значение искомого корня, вычисленное по формуле метода касательных (рис. 22).

Пример. Комбинированным методом хорд и каса­тельных найти корень уравнения

F(х) = Зх - cos х - 1 = 0 на отрезке [0; 1] с точностью e = 10-4

Так как F(х) непрерывная функция, a F’(x) = 3 +sin х > 0, х Î R; F(0) = -2 < 0 и F(1) = 2 - cos1 > 0, то на отрезке [0; 1] имеется единственный корень уравнения. Вторая производная

F”(x) = cos х> 0, х Î [0; 1].

Условие F(х)•F”(x) > 0 выполняется в точке х = 1, то есть F(1)•F«(1) > 0. Следовательно, уточнение корня выполняем по формулам:

Вычисления на ЭВМ оформляем в табл. 8, в которую введены промежуточные графы, облегчающие вычисление значений функции и производной.

 

Таблица 8 Расчетная таблица метода хорд и касательных

  Xn F(xn) xn - F(xn)
n (9):(8) (3) –(6): (7) (3) - (2) 3*(2) - соs(2) – 1 3*(3) – cos(3) - 1 3 + sin(3) (6) - (5) (6)*(2)- (5)*(3)
-2 1,459697 3,841471 3,459697
0,5780853 0,6200162 0,0419309 -0,1032551 0,0461796 3,581048 0,1494401 0,0907188
0,6070577 0,6071207 0,0000630 xср=0.5 ( - x2) = 0,607089

О точности полученных приближений (x2, , xcp) можно судить по невязке:

F(x2) = F(0,6070577) = - 0,0001569,

F( ) = F(0,6071207) = 0,0000681,

F(xcp) = F(0,6071) = 0,000006.

 

3.3.6 Метод последовательных приближений (итераций)

Сущность метода. Для нахождения действительных корней уравнения F(x) = 0, где F(x) - непрерывная функция на [a; b], его заменяют равносильным уравнением

х = j(х) (14)

Это можно сделать всегда, притом не одним способом. Например, уравнение

х3 - 9х + 3 = 0

можно представить так:

Пусть известен отрезок изоляции корня [a; b], тогда за начальное приближение искомого корня уравнения (14) берут: Подставляя значение х0 в правую часть уравнения (14), получают первое приближение х1 = j(х0). В качестве второго приближения берут х2 = j(х1). Продолжая этот процесс дальше, получают числовую последовательность (хn), определенную с помощью рекуррентной формулы:

xn+1 = j(xn), (n = 0, 1, 2, ...) (15)

Полученная последовательность х0, х1, ..., xn, xn+1,... называется итерационной последовательностью, способ построения ее называется методом последовательных приближений или методом итераций численного решения уравнения.

При пользовании методом итераций необходимо выяснить основной вопрос: сходится ли полученная последовательность (хn) к решению х* уравнения (14) при возрастании n? Если последовательность (хn) сходится, то есть существует предел х* = то, переходя к пределу в равенстве (15) и, предполагая, что функция j(х) непрерывна, получаем:

или x* = j(x*). (16)

Следовательно, в этом случае х = х* является корнем уравнения х = j(х), а значит, и уравнения F(x) = 0.

Если же последовательность (хn) окажется расходящейся, то есть не существует конечного предела построенной последовательности приближений (хn), то это означает, что процесс итераций построен неудачно, и его надо заменить другим.

Следовательно, метод последовательных приближений применим при выполнении условия:

½j‘(x)½ £ M1 < 1 (18)

для всех х, принадлежащих отрезку изоляции корня уравнения (14), В этом случае процесс итераций сходится, и тем быстрее, чем меньше М1; если же ½j‘(x)½ > 1, то итерационный процесс расходится. Для конкретной оценки величины m1, определяющей скорость сходимости, проще всего пользоваться формулой: М1 = max½j‘(x)½, где max берется по отрезкуизоляции корня [а: b].









Дата добавления: 2015-03-11; просмотров: 786; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2019 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.018 сек.