Точные и приближенные методы решения линейных уравнений

3.1 Алгоритм отделения корней уравнения (аналитический метод)

Алгоритм отделения корней уравнения F(х)=0 должен предусматривать выполнение таких указаний:

1. Найти область определения уравнения - множество всех значений аргумента, при которых определены функции, составляющие уравнение.

2. Вычислить F'(х) и найти критические точки.

3. 3аписать интервалы монотонности.

4. Исследовать знак функции на концах интервалов монотонности.

5. Выписать отрезки изоляции корней.

6. Полученные отрезки изоляции корней сузить каким-либо методом.

При написании алгоритмов предполагается, что все указания алгоритма выполняются последовательно друг за другом в порядке их написания, если не оговорена иная последовательность.

Пример 1. Отделить корни уравнения F (х)=х -4х +2=0.

1.Х= (-¥, ¥)

2.F'(х)=3х -8х; Зх -8х=0.

Критические точки: 0; .

3.Интервалы монотонности: (-¥; 0),(0; ),( ;+¥)

4.Исследование знака функции на концах интервалов

монотонности дает: lim F(x)= - , F(0) 2, F = - , lim F(х)= +

5.Отрезки изоляции корней: (-¥; 0),(0; ),( ;+¥)

6.Методом проб сузим полученные интервалы до единичной длины:

Þ[-1; 0]

Þ[0; 1]

Þ[3; 4]

Таким образом, данное уравнение имеет три действительных корня, причем

-1< x < 0;

0< x < 1;

3< х < 4.

Левые концы отрезков изоляции корней можно принять за приближенные значения корней с недостатком, правые - с избытком.