Построение графика.

Выделим диапазон ячеек B3:B20, содержащий данные для построения графика. Значения из столбца A (диапазон A3:A20) будут откладываться по оси ОХ (ось времени), значения из столбца B (диапазон B3:B20) – по оси OY.

Выберем команду Вставка, Диаграмма. С помощью мастера диаграмм построим график в четыре этапа (шага):

Шаг 1.

В диалоговом окне Тип диаграммы на вкладке Стандартные выбрать тип диаграммы Точечная и вид– Точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями.

Щелкнуть на кнопке Далее.

Шаг 2.

В окне Источник данных диаграммы на вкладке Диапазон данных проверить, что диапазон данных выбран правильно и установлен флажок опции Ряды в столбцах.

Выбрать вкладку Ряд и в поле Имя: ввести название графика Зависимость v от t.

Установить курсор в поле «Подписи оси Х» и занести диапазон ячеек по переменной t (столбец А – диапазон A3:A20).

Щелкнуть на кнопке Далее.

Шаг 3.

На этом шаге задаются параметры диаграммы (окно Параметры диаграммы).

На вкладке Заголовки ввести название диаграммы и наименования осей координат с указанием единиц измерения величин, откладываемых по этим осям:

в поле Название диаграммы — График зависимости v от t;

в поле Ось X (категорий) — Время t, (с);

в поле Ось Y (значений) — Скорость v, (м/c).

Шаг 4.

Последний шаг определяет местоположение диаграммы – окно Размещение диаграммы.Выбрать вариант –на том же листе.

Щелкнуть на кнопке Готово.

Результаты вычислений, выполненных в табличном процессоре:

Рисунок 1

Рисунок 2

Учтем, что t для разных задач нужно выбирать индивидуально. Если в задаче о безпарашютисте можно t взять равным 2 сек., то в задаче о парашютисте (при k₂ @ 20) t равно 0,2 сек, т.к. скорость падения меньше. При падении в вязкой среде скорость чрезвычайно мала, поэтому t берется очень маленьким – например, 0,01 – 0,02 сек. При падении в вязкой среде нужно учитывать линейную составляющую скорости в силе сопротивления.

Примерно через 22 сек. после начала полета скорость становится постоянной и остается такой до приземления. Отметим, что в рассматриваемой ситуации сопротивление воздуха радикально меняет характер движения; при отказе от его учета график скорости заменился бы касательной к нему в начале координат.

Задача о падении шарика в вязкой среде

Шар, сделанный из чугуна, радиуса r = 0,1 м падает в глицерине, встречая силу сопротивления, пропорциональную скорости и силу гидростатического выталкивания (силу Архимеда). Найти изменение скорости и высоты падения при изменении времени. Построить графики зависимости скорости и высоты от времени.

Решение.

На шарик, падающий в вязкой среде, по вертикали действуют три силы:

- сила тяжести (тяготения) где V_об – объем шара;

- сила гидростатического выталкивания (сила Архимеда):
где – плотность жидкости,

- сила сопротивления среды: .

Учитывая действие трех сил, аналогично системе (7) в проекции на вертикальную ось в данном случае получим:

(16)

Докажем, что скорость мала и квадратичную составляющую скорости в F_coпp можно не учитывать. При относительно малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональна скорости и имеет место соотношение F_coпp = k₁v, где k₁ определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шарика k₁ = 6πμr - это формула Стокса, где r - радиус шарика, μ -динамическая вязкость среды.

Таблица вязкости текучих веществ при t = 20°С и давлении 1 атм

Оценим, при какой скорости для падающего вертикально шара силы сопротивления и выталкивания сравняются с силой тяжести и движение станет равномерным, то есть:

F_т= F_Арх+ F_coпp,

Имеем

или

Пусть r = 0,1 м, плотность чугуна: , плотность глицерина: , вязкость глицерина: .

Учитывая, что 1Н (Ньютон) = 1(кг×∙м)/с², то вязкость глицерина можно выразить: . Тогда:

Итак, при падении шара в глицерине скорость, при которой движение станет равномерным, равна v* ≈ 0,1 м/с. Таким образом, скорость достаточно мала, поэтому вкладом квадратичной составляющей силы сопротивления можно пренебречь, то есть действительно F_сопр= k₁v. Учитывая обозначение: , получим систему уравнений:

(17)

Это эквивалентно системе (16), что и требовалось доказать.

В соответствии с методом Эйлера-Коши запишем итерационное уравнение нахождения значения скорости v_i+1 через v_i. Обозначим правую часть второго уравнения системы (17), записанного в дискретном виде, через :

(18)

Согласно методу Эйлера – Коши запишем формулы:

(19)

Тогда подставляя (18) в формулы (19), получаем

В итоге получим:

(20)

Рассмотрим теперь первое уравнение в системе (16), поскольку нам необходимо также исследовать зависимость высоты полета h от времени:

Получим итерационную формулу для вычисления h:

или

Поскольку

Тогда

(21)

Данная задача решается с помощью табличного процессора Excel.

В таблице Excel расположим в столбце D начальные данные:

в D2 – значение τ =0,02,

в D4 – значение m( )

в D6 – значение m∙g

в D8 – значение k₁ (k₁ = 6πμr =2788,32 [Н∙с∙м^-1])

в D10 – значение m ( )

Тогда для вычисления значения v₁ в соответствии с итерационной формулой (20) в столбце В в ячейке В4 нужно записать формулу:

=B3+$D$2/2*(($D$6–$D$8*B3)/$D$10+($D$6–$D$8*(B3+$D$2*($D$6–

–$D$8*B3)/$D$10))/$D$10)

и произвести автозаполнение столбца В.

В столбце С в ячейку С4 нужно записать формулу: = С3+B4*$D$2 в соответствии с итерационной формулой (21) и произвести автозаполнение столбца C.

С использованием итерационных формул таблица имеет вид:

Результаты вычислений, выполненных в табличном процессоре:

Вывод: примерно через t=0,5 сек. после начала падения скорость становится постоянной и остается такой до конца (график выравнивается, становится параллельным оси изменения времени). При падении в вязкой среде скорость мала, за доли секунды она становится постоянной, поэтому шаг по времени τ берется очень маленьким, например 0,02 сек.