ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ ТЕЛ

Как движется Земля и другие планеты в пространстве? Что ждет комету, залетевшую из глубин космоса в Солнечную систему? Многовековая история поисков ответов на эти вопросы о движении небесных тел хорошо известна; для многих людей, внесших большой вклад в науку, именно интерес к астрономии, устройству большого мира, был первым толчком к познанию.

По закону всемирного тяготения сила притяжения, действующая между двумя телами, пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Если поместить начало системы координат на одном из тел (размерами тел по сравнению с расстоянием между ними будем пренебрегать), то математическая запись силы, действующей на второе тело, имеет вид

(1)

Здесь -- гравитационная постоянная.

Знак «минус» в формуле связан с тем, что гравитационная сила является силой притяжения, т.е. стремится уменьшить расстояние r между телами.

Далее мы ограничимся лишь изучением взаимного движения двух тел. При этом возникает вопрос: с какой позиции (в какой системе координат) изучать это движение? Ограничимся лишь простейшей ситуацией: рассмотрим движение одного из тел с точки зрения наблюдателя, находящегося на втором, например, движения планеты или кометы относительно Солнца. Разумеется, мы тем самым произвели ранжирование факторов, и наши последующие действия имеют отношение к реальности лишь в меру соблюдения определенных условий.

Уравнение, описывающее движение тела массы m в указанной системе координат, имеет вид

,

или в проекциях на оси x, y

(2)

Интересующая нас орбита сильно зависит от «начальной скорости» тела m и «начального расстояния». Мы взяли эти слова в кавычки, так как при изучении движения космических тел нет столь отчетливо выделенного «начального момента», как в ранее рассмотренных ситуациях. При моделировании нам придется принять некоторое положение условно за начало, а затем изучать движение дальше. Очень часто космические тела движутся практически с постоянной скоростью по орбитам, близким к круговым. Для таких орбит легко найти элементарное соотношение между скоростью и радиусом. В этом случае сила тяготения выступает в роли центростремительной, а центростремительная сила при постоянной скорости выражается известной из начального курса физики формулой Таким образом, имеем

или

(3)

-- искомое соотношение связи скорости и радиуса для круговой орбиты.

Период движения по такой орбите

.

Заметим, что отсюда вытекает один из законов Кеплера, приведший Ньютона к открытию закона всемирного тяготения: отношение кубов радиусов орбит любых двух планет Солнечной системы равно отношению квадратов периодов их обращения вокруг Солнца, т.е. Более точная формулировка дана ниже (так как реально орбиты планет не вполне круговые).

Если соотношение (3) нарушено, то орбита не будет круговой. Выяснить, какой она будет, можно в ходе численного моделирования. Сведем (2) к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

(4)

В этой задаче особенно неудобно работать с размерными величинами, измеряемыми миллиардами километров, секунд и так далее. В качестве характерных величин обезразмеривания удобно принять:

1. характерное расстояние от Земли до Солнца м,

2. период круговой орбиты , соответствующий этому расстоянию,

3. скорость движения по орбите ,

т.е. принять новые безразмерные переменные:

.

После обезразмеривания получаем

(5)

Отметим, что в безразмерных переменных уравнения не содержат параметров. Отличают разные режимы движения друг от друга – начальные условия.

Можно доказать, что возможные траектории движения, описываемые уравнениями (5) – эллипс, парабола и гипербола.

Напомним законы Кеплера:

1. Всякая планета движется по эллиптической орбите с общим фокусом, в котором находится Солнце.

2. Каждая планета движется так, что ее радиус-вектор за одинаковые промежутки времени описывает равные площади. Это означает, что чем ближе планета к Солнцу, тем у нее больше скорость движения по орбите.

3. Отношение кубов больших полуосей орбит двух любых планет равно отношению квадратов периодов их обращения вокруг Солнца.

Уравнения (5) описывают движение не только планет, но и любых тел, попадающих в поле тяготения большой массы.

Все эти утверждения можно проверить и детально исследовать с помощью уравнений (5). При этом полезно использовать свойство консервативности данной системы – сохранение полной энергии движущегося тела. Полная энергия движущегося небесного тела m в системе двух тел имеет значение

Первое слагаемое – кинетическая, второе – потенциальная энергия.

В безразмерных переменных

Наличие неизменного параметра в ситуации, когда изменяются V_x, V_y, X, Y, позволяет контролировать процесс решения системы дифференциальных уравнений, проверять устойчивость метода, подбирать шаг интегрирования.