МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Процесс теплопроводности – один из, так называемых, процессов тепломассопереноса, играющих огромную роль в природе и в технике. Другие процессы такого рода – диффузия, благодаря которой смешиваются разные жидкости или газы, процессы гидродинамики и аэродинамики (переноса жидкостей и газов).

Хотя каждый из таких процессов имеет собственные закономерности, между ними много общего:

1) эти процессы происходят в сплошной среде;

2) при их математическом моделировании используется один и тот же математический аппарат – дифференциальные уравнения в частных производных.

Понятие «сплошная среда» широко используется в науке. Во многих ситуациях жидкости, газы, твердые тела можно рассматривать как «сплошные», отвлекаясь от их молекулярного и атомарного устройства. Например, при изучении процессов распространения тепла или диффузии можно отвлечься от атомарного строения вещества и оперировать такими характеристиками как теплоемкость, теплопроводность, скорость диффузии и др., которые можно исследовать и практически использовать без выяснения их микроскопической природы.

В приближении сплошной среды свойства объекта описываются математически с помощью непрерывных функций координат и времени: f(x,y,z,t). За каждым свойством закрепляется своя функция, связь между ними дает полное описание среды.

Существующие задачи можно разделить на два класса: статические и динамические. В первом случае значения величин, характеризующих сплошную среду, не зависят от времени – f(x,y,z). Требуется найти их пространственное распределение – поле распределения. Во втором случае f(x,y,z,t) и нужно дать описание полей распределения во времени. Например, исследовать изменение температуры в разных точках тела, которое подогревается от источников тепла, интенсивность которых меняется со временем.

Ограничимся одной из самых простых задач данного класса – переносом тепла в однородном стержне. Рассмотрим линейный стержень, боковая поверхность которого не проводит тепла (теплоизолирована). Если в начальный момент стержень неравномерно нагрет, то в нем будет происходить перераспределение тепла. При отсутствии внутренних источников тепла его температура, в конце концов, выровняется.

Поскольку стержень линеен и однороден, то распределение температуры в пространстве характеризуется одной координатой х.

Температура (обозначим ее u) зависит от х; кроме того, она может меняться со временем, т.е. является функцией двух переменных u(x, t). Изменение этой функции вдоль стержня определяется производной по х, а изменение ее со временем определяется производной по t. Они взаимосвязаны и входят в одно уравнение.

Уравнение теплопроводности.Выведем уравнение, описывающее процесс изменения температуры в стержне. Зафиксируем некоторую точку х₀ и выделим около нее малый участок стержня длиной .

Искомое уравнение есть уравнение теплового баланса, т.е. изменение количества тепла в избранном участке стержня за счет притока и (или) оттока его через два сечения приведет к нагреванию или охлаждению этого участка в соответствии с его теплоемкостью. Выразим все это математическим языком.

Количество тепла, проходящее через поперечное сечение стержня в точке х₀ за время , пропорционально площади сечения S, градиенту температуры и промежутку времени : ~ .

Если с S и все очевидно, то появление требует пояснений. Из экспериментов известно, что поток тепла через некоторый участок стержня длиной тем больше, чем больше разность температур на его концах и чем меньше расстояние :

~

Вводя коэффициент пропорциональности k, называемый коэффициентом теплопроводности, получаем

(1)

Значение k определяется материалом стержня в единицах системы СИ:

Таким образом, различия в теплопроводности разных материалов огромны.

Теперь запишем количество тепла, проходящее через сечение в точке . Оно определяется той же формулой:

с условием, что производная берется в точке . Для получения искомого уравнения ее надо выразить через значение в точке х₀.

Имеем разложение в ряд, ограничиваясь первым порядком приращения ,

в силу чего получим:

(2)

Из (1) и (2) видно, что через сечения и за время прошло разное количество тепла, поэтому та его часть, которая пошла на нагревание (или, в зависимости от знака, на охлаждение) этого участка стержня, есть

Пусть за то же время температура участка изменилась на ; как известно, это связано с изменением тепла , которое выражается соотношением:

,

где m – масса, c – удельная теплоемкость. Приравняем два выражения для :

Поскольку массу можно представить как (ρ – плотность вещества), то, поделив обе части уравнения на и перейдя к пределу при , получим

.

В это выражение входят три постоянные, характеризующие вещество. Удобно объединить их в одну постоянную , где -- так называемый, коэффициент температуропроводности. Обозначение удобно, так как фиксирует знак этого коэффициента – он всегда положителен.

Тогда перепишем уравнение в виде

(3)

Это – основное уравнение теплопроводности для однородного стержня. Как следует из процедуры вывода, это уравнение локально, т.е. в данный момент времени и в данной точке выражает закон сохранения энергии.

Уравнение (3) – одно из самых простых дифференциальных уравнений в частных производных. Несмотря на его элементарный вид, решение такого уравнения даже в простейшей ситуации есть весьма сложная задача.

Начальные и краевые условия. Уравнение (3) описывает процесс изменения температуры стержня во времени и в пространстве. Для решения задачи надо знать распределение температуры в теле в некоторый начальный момент времени:

,(4)

где --заданная функция.Кроме того, в тех местах, где возможен теплообмен с окружающей средой, надо знать условия этого теплообмена. Для стержня с теплоизолированной боковой поверхностью такими местами являются концы. Пусть длина стержня l. Если один конец имеет координату х = 0, а другой – х = l, то простейший вариант краевых условий – постоянная температура на каждом конце стержня:

, (5)

Нижеследующее утверждение физически очевидно, но его строгое математическое доказательство весьма непросто: дифференциальное уравнение (3) при начальном условии (4) и краевых условиях (5) имеет единственное решение.