Тема 5. Интегральное исчисление

Первообразная функции и неопределенный интеграл.

Функция F(х) называется первообразной функции f (х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F ¢(х) = f (х). Например, F(х) = х²/2 является первообразной для функции f (х) = х, так как (х²/2)¢ = х.

Теорема. Если функция F(х) является первообразной функции f(х) на промежутке Х, то всякая другая первообразная для функции f(х) отличается от F(х) на постоянное слагаемое, т.е. может быть представлена в виде:

F(х) + С, где С – произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных f (х) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается ò f (х) dx , где ò – знак интеграла, f (х) – подынтегральная функция, f (х) dx – подынтегральное выражение. Таким образом,

ò f (х) dx = F(х) + С, где F(х) – некоторая первообразной функции f (х), С – произвольная постоянная.

Например, поскольку F(х) = х²/2 является первообразной для функции f (х) = х, то ò х dx = (х²/2) + С.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. (ò f (х) dx) ¢= f (х).

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. d (ò f (х) dx) = f (х) dх.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

ò dF(x) =F(x) + C.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е. ò [f (х) + g (x)] dx =ò f (х) dx + ò g (х) dx.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. ò a f (х) dx =a ò f (х) dx.