Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования

Очень интересный случай. Несобственный интеграл первого рода с бесконечными пределами интегрирования имеет следующий вид:

Как решить интеграл с бесконечными пределами? Данный интеграл нужно представить в виде суммы двух несобственных интегралов:

Примечание: вместо ноля может быть любое число, но ноль обычно удобнее всего.

Если обаинтеграла правой части сходятся, то сходится и интеграл

Если хотя бы один из интегралов правой части расходится, то расходится и интеграл

Пример 9

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Я специально подобрал примитивный пример, чтобы проиллюстрировать другой важный момент применения метода.

Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой.
Согласно правилу, интеграл следует представить в виде суммы интегралов:

Интеграл будет сходиться, если будут сходиться оба интеграла правой части.
Проверяем:

– сходится.

Оба интеграла сходятся, значит, сходится и весь интеграл:

Теперь обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной.
В несобственных интегралах с бесконечными пределами (а значит, симметричными интервалами интегрирования) чётностью пользоваться МОЖНО.Аналогично определенному интегралу, интервал интегрирования можно споловинить, а результат – удвоить.

То есть, решение допустимо записать короче:

Почему такое возможно?

График подынтегральной чётной функции симметричен относительно оси OY. Следовательно, если половина площади конечна (интеграл сходится) – то симметричная половина площади тоже конечна. Если половина площади бесконечна (интеграл расходится), следовательно, симметричная половина тоже будет расходиться.

Пример 10

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.