Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
Заключительные пункты этой статьи предназначены для читателей, которые хорошо разобрались с несобственными интегралами второго рода на уроке Несобственные интегралы. Примеры решений. Рассмотрим другие разновидности несобственных интегралов второго рода. Ничего сложного!
Многие выкладки предыдущего параграфа будет справедливы и сейчас.
Сразу конкретная задача:
Пример 12
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в обоих концах отрезка интегрирования. Изобразим подынтегральную функцию
на чертёже:
Геометрически данный несобственный интеграл представляет собой площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху.
Методика решения практически такая же, как и в предыдущем параграфе. Представим несобственный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:
Если оба интеграла правой части сходятся, то сходится и весь интеграл.
Если хотя бы одиниз интегралов правой части расходится, то расходится и весь интеграл
А уж интегралы правой части рассматривались во втором разделе урока Несобственные интегралы. Примеры решений.
Но, вместо этого замечаем, что подынтегральная функция является чётной. Чётность использовать МОЖНО. В этом легко убедиться и по чертежу. Таким образом, интеграл целесообразно споловинить, а результат удвоить. Решаем наиболее рациональным способом:
Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в точках . Данная функция является чётной, а интервал интегрирования симметричен относительно нуля.
Ответ:
,
то есть, несобственный интеграл сходится
Пример 13
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Это пример для самостоятельного решения. Всё, как и в предыдущем параграфе –нечетностью функции пользоваться НЕ НУЖНО. Аккуратно делим интеграл на две части и исследуем сходимость по типовому алгоритму. Полное решение и ответ в конце урока.
Не редкость, когда подынтегральная функция не является четной или нечетной, да и отрезок интегрирования не симметричен относительно нуля. Например, рассмотрим несобственный интеграл
.
Подынтегральная функция опять терпит бесконечные разрывы в обоих концах отрезка интегрирования. Алгоритм такой же, делим интеграл на два интеграла:
Удобное свойство, правда?
Интегралы правой части разобраны на уроке Несобственные интегралы. Примеры решений. Если оба интеграла будут сходиться, то будет сходиться и весь интеграл. Еслихотя бы один интеграл правой части расходится, то расходится и весь интеграл.
Кстати, не важно, в каком порядке исследовать сходимость интегралов правой части. Можно сначала исследовать сходимость интеграла
,
а потом (если до этого дойдет дело), исследовать сходимость первого интеграла в правой части.
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 1933;