Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования

Если честно, такой пример встречался в моей практике всего один раз (по крайне мне, вспомнил лишь один), поэтому я ограничусь только обзором.

Пример опять же будет в известной степени условным, первое, что в голову пришло. Рассмотрим несобственный интеграл

.

На концах отрезка интегрирования всё хорошо. Но подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв прямо на отрезке в точке x = 1. Подынтегральная функция является четной, но это не имеет никакого значения, поскольку отрезок интервал интегрирования не симметричен относительно нуля.

Метод уже состарился, как хмм… чешуя динозавра. Представим несобственный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:


Интегралы правой части вам уже знакомы. А проговаривать алгоритм в третий раз не буду, смотрите предыдущие два параграфа)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Пример 5: Решение:

Проведем замену:


Новые пределы интегрирования:

Пример 8: Решение:



Подынтегральная функция непрерывна на интервале .


Пример 11: Решение:



Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой.
Представим интеграл в виде суммы двух интегралов:



Проверим сходимость интегралов правой части:



Сходится.



Сходится.
Оба интеграла сходятся, значит, сходится и весь интеграл:



Ответ:


Примечание: Будет серьезной оплошностью сразу записать, что

,

пользуясь нечетностью подынтегральной функции и симметричностью интервала интегрирования. Стандартный алгоритм обязателен!!!

Пример 13: Решение:


Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в точках

.

Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов:



Исследуем сходимость интегралов правой части:



Несобственный интеграл расходится, значит, расходится и весь интеграл.

Интеграл

можно уже не проверять.


Ответ:интеграл

– расходится

 

 








Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 1851;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.