Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
Если честно, такой пример встречался в моей практике всего один раз (по крайне мне, вспомнил лишь один), поэтому я ограничусь только обзором.
Пример опять же будет в известной степени условным, первое, что в голову пришло. Рассмотрим несобственный интеграл
.
На концах отрезка интегрирования всё хорошо. Но подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв прямо на отрезке в точке x = 1. Подынтегральная функция является четной, но это не имеет никакого значения, поскольку отрезок интервал интегрирования не симметричен относительно нуля.
Метод уже состарился, как хмм… чешуя динозавра. Представим несобственный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:
Интегралы правой части вам уже знакомы. А проговаривать алгоритм в третий раз не буду, смотрите предыдущие два параграфа)
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Пример 5: Решение:
Проведем замену:
Новые пределы интегрирования:
Пример 8: Решение:
Подынтегральная функция непрерывна на интервале .
Пример 11: Решение:
Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой.
Представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
Проверим сходимость интегралов правой части:
Сходится.
Сходится.
Оба интеграла сходятся, значит, сходится и весь интеграл:
Ответ:
Примечание: Будет серьезной оплошностью сразу записать, что
,
пользуясь нечетностью подынтегральной функции и симметричностью интервала интегрирования. Стандартный алгоритм обязателен!!!
Пример 13: Решение:
Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в точках
.
Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов:
Исследуем сходимость интегралов правой части:
Несобственный интеграл расходится, значит, расходится и весь интеграл.
Интеграл
можно уже не проверять.
Ответ:интеграл
– расходится
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 1851;