ИДЗ-10. Правило Лопиталя.

Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя:

а) ; б) ; в) .

Решение: а) При x ® ¥ числитель и знаменатель дроби под знаком предела стремятся к бесконечности, так что имеем неопределенность вида {¥/¥}, которую раскроем с помощью правила Лопиталя:

= = = × = × =

= × × = ×0× = 0.

б) При x ® числитель и знаменатель дроби под пределом стремятся к нулю, так что имеем неопределенность вида {0/0}, которую раскроем с помощью правила Лопиталя:

= = = – × = – × =

= – = .

в) При x ® 0 выражение под знаком предела стремится к неопределености вида 1^¥, для раскрытия которой не может быть непосредственно применено правило Лопиталя, и выражение следует предварительно преобразовать. Предположим, что предел существует и равен A = . Тогда

lnA = = = = =

= – × × = – ×1×1 = – .

Следовательно, A = e^–1/2 = .

Ответ: а) = 0; б) = ; в) = .