ИДЗ-12. Решение задачи оптимизации. Построить математическую модель и решить задачу оптимизации.

Построить математическую модель и решить задачу оптимизации.

Среди всех равнобедренных треугольников с заданным периметром p найти треугольник наибольшей площади. Чему она равна?

необходимые обозначения в рассматриваемом треугольнике DABC: AB = AC = x; BC = y; AD = x×cosa; ÐA = 2a. Заданный периметр p = 2x + y.

Из геометрических соображений имеем:

p = 2x + 2x sin a = 2x (1 + sin a),

x = × .

S = ×BC×AD = ×2x sin a×x cosa = ×x² sin 2a = × .

Ясно, что 0 £ a £ . Остается найти максимальное значение целевой функции:

f(a) = .

Для этого вычислим производную функции f(a) и приравняем ее нулю:

f¢(a) = 0 = ( )¢ = = 2× =

= 2× = 2× = 2× .

При допустимых значениях угла a выражение 1 + sin a > 0, так что f¢(a) = 0 при

cos 2a – sin a = 0;

1 – 2sin² a – sin a = 0;

2sin² a + sin a – 1 = 0;

D = 1² – 4×2×(–1) = 9;

sin a = = ;

Допустимым значениям угла a отвечает лишь решение sin a = ½, откуда a₀ = и ÐA = . Тогда y = 2x× = x, т.е. DABC равносторонний.

Нетрудно (СРС) вычислить вторую производную целевой функции f(a):

f²(a) = (2× )¢ = –2× .

При найденном значении a_m = вторая производная f²(a₀) < 0, т.е. в точке a_m = площадь S(a) достигает именно максимума, равного

S_m = S( ) = × = × = .

Ответ: a_m = ; S_m = .

Варианты индивидуальных домашних заданий (ИДЗ) по Математике