Правила дифференцирования.

1.

2. в частности,

3. в частности,

4. , если у = , ;

5. , если и .

Для вычисления производных надо знать лишь правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.

Пример 7. Найти производную функции у = .

Решение: у' = .

В процессе решения использованы правила 2, 3 и формулы 2, 7.

Пример 8. Найти производную функции

Решение:

Пример 9. Найти производную функции у = cos 2x.

Решение: (cos 2x)¢ = - sin 2x × (2x)¢ = - 2sin 2x.

Пример 10. Найти производные функций:

1) y = arccos x²; 2) y =x× arctg x.

Решение:

1) (arccos x²)¢ =

2) (x× arctg x)¢ = x¢× arctg x + x × (arctg x)¢ = arctg x +

Пример 11. Найти производную функции у = cos(ln³2x).

Решение: у' =

.

Решение с пояснениями: данную функцию можно представить следующим образом: у = cos u, u = t³, t = ln z, z = 2x. Производную сложной функции найдем по правилу (здесь промежуточных аргументов три):

.

Окончательно .