Производная неявно заданной функции

Если функция задана уравнением у = f (х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(х; у) = 0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у = f (х) можно записать как неявно заданную уравнением f (х) – у = 0, но не наоборот.

Если неявная функция задана уравнением F(х; у) = 0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример 6. Найти производную функции у, заданную уравнением

x³ + y³ – 3xy = 0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство

x³ + y³ – 3xy = 0. Из полученного соотношения 3x² + 3y² × у' – 3(1× y + x× у') = 0

следует, что y² × у' – x× у' = y – x², т.е.

.

Таблица производных

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «х» заменен на промежуточный аргумент «u».

1. (с)¢ = 0;
2. ( )¢ = ;
3. , в частности, ;
4. , в частности, ;
5. (sin u)¢ = cos u × u¢;
6. (cos u)¢ = ;
7. (tg u)¢ ;
8. (сtg u)¢ ;
9. (arcsin u)¢ = ;
10. (arccos u)¢ = ;
11. (arctg u)¢ = ;
12. (arcctg u)¢