Производные высших порядков явно заданной функции

Производная у' = f '(х) функции у = f (x) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция f '(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у" (или f ¢¢(x), , , ). Итак,

у" = (y¢ )¢.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или f¢¢¢(x), , …). Итак, у'" = (y¢¢)¢.

Производной n -го порядка (или n -й производной) называется производная от производной (n - 1) порядка: у⁽ⁿ⁾ = (y^{(n – 1)})¢ .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у ^V или у⁽⁵⁾ - производная пятого порядка).

Пример 12. Найти производную 13-го порядка функции у = sin x.

Решение: у' = (sin x)¢ = cos x = ,

у" = (y¢)¢ = (cos x)¢ = - sin x = ,

у'" = (y¢¢)¢ = (- sin x)¢ = - cos x = ,

……………………

у⁽¹³⁾ =