Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл

Пусть функция дифференцируема на отрезке . Производная этой функции в некоторой точке отрезка определяется равенством: . Тогда, по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или .

Приращение функции состоит из двух слагаемых, из которых первое есть так называемая главная часть приращения, линейная относительно .

Дифференциалом функции в точке называется главная часть её приращения, которая равна произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается или : .

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: и тогда , дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение: По формуле находим

.

Основные теоремы о дифференциалах. Таблица дифференциалов.

Теорема 1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяется формулами:

Теорема 2.Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточной переменной на дифференциал этой промежуточной переменной

.

Таблица дифференциалов