Производная сложной функции. Пусть у = и тогда у = f( (x)) — сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.

Пусть у = и тогда у = f( (x)) — сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.

Теорема 5. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция у = f( (x)) имеет производную в точке , которая находится по формуле

.

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если то .

Пример 3. Найти производную функции

Решение: Используя формулу производной сложной функции и фор­мулу производной показательной функции, находим

Пример 4. Найти производную функции

Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у = u³, где u = , где z = , где q = х⁴. По правилу дифференцирования сложной функции получаем: