Определение производной; ее механический и геометрический смысл

Производной функции у = f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначают одним из символов:

Итак, по определению

Производная функции есть некоторая функция .

Функция у = , имеющая производную в каждой точке интервала (а; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у = в точке обозначается одним из символов:

Пример 1. Найти производную функции у = с, с = const.

Решение: Значению даем приращение ; находим приращение функции ; значит, = ;

следовательно, =

Пример 2.Найти производную функции у = х².

Решение: Аргументу х даем приращение ; находим

;

составляем отношение : = ; находим предел этого отношения: =

Таким образом,

Механический смысл производной:

,

или V = S¢_t , т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t.

Обобщая, можно сказать, что если функция у = f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная у' есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

Геометрический смысл производной:

Угловой коэффициент касательной = , т.е. производная в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = f(x) в точке, абсцисса которой равна х.

Уравнение касательной: у - = × (x - х₀).

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Уравнение нормали: (если .