Непрерывность функции. Непрерывность функции в точке, на отрезке

Литература. [1], [2], [6], [7], [17].

Непрерывность функции в точке, на отрезке

Пусть функция у=f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки.

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Это равенство означает выполнение трех условий:

1) функция f(x) определена в точке х₀ и в ее окрестности;

2) функция f(x) имеет предел при ;

3) предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство .

Так как , то равенство можно записать в виде

.

Это означает, что принахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х₀.

Например, .

Сформулируем еще одно, второе определение непрерывности функции в точке: функция у=f(x) называетсянепрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и ее окрестности и выполняется равенство , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Пример 13. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение: Функция определена при всех R. Возьмем произвольную точку х и найдем приращение :

.

Тогда , так как произведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф. Согласно определению, функция непрерывна в точке х.

Функция у=f(x) называется непрерывной в интервале (а,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у=f(x) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в интервале (а,b) и в точке х=а непрерывна справа(т.е. ), а в точке х=b непрерывна слева(т.е. ).