Применение эквивалентных бесконечно малых функций к вычислению пределов

Для раскрытия неопределённостей вида часто применяют принцип замены бесконечно малых эквивалентными и свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinх ~ х при х → 0, tg x ~ х при х → 0. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

Пример 8. Покажем, что при х → 0.

Решение: .

Пример 9. Найдем .

Решение: Обозначим arcsin х = t. Тогда х = sin t и t → 0 при х → 0. Поэтому .

Следовательно, arcsin х ~ х при х → 0.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

1. sin х ~ х, (х → 0);	6. ех – 1 ~ х, (х → 0);
2. tg х ~ х, (х → 0);	7. ах – 1 ~ х ln а, (х → 0);
3. arcsin х ~ х, (х → 0);	8. ln(1 + х) ~ х, (х → 0);
4. arctg х ~ х, (х → 0);	9. loga (1 + х) ~ х loga е, (х → 0);
5. , (х → 0);	10. (1 + х)k – 1 ~ k×x, k > 0, (х → 0); в частности, .

Пример 10. Найти .

Решение: Так как tg 2х ~ 2х, sin 3х ~ 3х при х → 0,

то .

Пример 11. Найти .

Решение: Обозначим , из х → ∞ следует t → 0. Поэтому

.

Пример 12.Найти .

Решение: Так как arcsin (х – 1) ~ (х – 1) при х → 1, то

.