Система двох дискретних випадкових величин (X, Y) та їх числові характеристики

Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень Y = y_i , X = x_j та відповідних їм імовір­ностей спільної появи.

У табличній формі цей закон має такий вигляд:

X = xj Y = yi	x1	x2	x3	…	xm	pyi
y1	p11	p12	p13		p1m	py1
y2	p21	p22	p23		p2m	py2
y3	p31	p32	p33		p3m	py3
…	…	…	…	…	…	…
yk	pk1	pk2	pk3	…	pkm	pym
pxj	px1	px2	px3	…	pxm

Тут використано такі позначення

Умова нормування має такий вигляд:

(108)

Основні числові характеристики для випадкових величин Х, Y,
що утворюють систему (Х, Y)

(109)

(110)

(111)

(112)

= (113)

(114)

32.Кореляційний момент.Коефіцієнт кореляції
та його властивості

Під час вивчення системи двох і більше випадкових величин доводиться з’ясовувати наявність зв’язку між цими величинами та його характер. З відповідною метою застосовують так званий кореляційний момент:

(115)

У разі Κ_ху = 0 зв’язок між величинами Х та Y, що належать системі (Х, Y), відсутній. Коли Κ_ху ¹ 0, то між відповідними Х і Y кореляційний зв’язок існує.

Тісноту кореляційного зв’язку характеризує коефіцієнт кореляції: (116)

, або .

Отже, якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то Κ_ху = 0 і r_ху = 0. Рівність нулеві r_ху є необхідною, але не достатньою умовою незалежності випадкових величин.

Справді, може існувати система залежних випадкових величин, в якої коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Прикладом такої системи є система двох випадкових величин (X, Y), яка рівномірно розподілена всередині кола радіусом R із центром у початку координат. Дві випадкові величини Х і Y називають некорельованими, якщо r_ху = 0, і корельованими, якщо r_ху ¹ 0.

Отже, якщо Х і Y незалежні, то вони будуть і некорельованими. Але з некорельованості випадкових величин у загальному випадку не випливає їх незалежність.

Приклад 1.Задано закон розподілу системи двох дискрет­них випадкових величин (X, Y):

Х = хj Y = yi	5,2	10,2	15,2	Pyi
2,4	0,1a	2a	0,9a
4,4	2a	0,2a	1,8a
6,4	1,9a	0,8a	0,3a
Pxj

Знайти а. Обчислити M (X); D (X); s (X); M (Y); D (Y); s (Y); K_ху; r_ху; P (2,4 £ Y < 6,4; 5,2 < X £ 15,2).