Початкові та центральні моменти

Узагальненими числовими характеристиками випадкових величин є початкові та центральні моменти.

Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називають математичне сподівання величини Х ^k:

. (98)

Коли коли k = 2, і т. д.

Для дискретної випадкової величини Х

; (99)

для неперервної

. (100)

Якщо Х Î [а; b], то

. (101)

Центральним моментом k-го порядку називається математичне сподівання від (Х – М(Х))^k:

(102)

Коли

коли k = 2, ;

коли k = 3,

коли k = 4, .

Для дискретної випадкової величини

(103)

для неперервної

(104)

Якщо Х Î [а; b], то

. (105)

29. Асиметрія і ексцесТретій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо m₃ = 0, то випадкова величина Х симетрично розподілена відносно М (Х). Оскільки m₃ має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину — ко-
ефіцієнт асиметрії: . (106)

Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення ексцесу, що характеризує плосковершинність, або гостровершинність щільності ймовірності f (x). Ексцес обчислюється за формулою (107)

Зауважимо, що число 3 віднімається ось чому. Для центрального закону розподілу, так званого нормального закону, виконується рівність: Отже, Еs = 0.

Для наочності при різних значеннях Аs, Es графіки f (x) зображені на рис. 57 i 58.

Рис. 57 Рис. 58

Приклад 13. Задано щільність імовірностей:

Обчислити Аs, Еs.Розв’язання.