Властивості математичного сподівання

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:

М (С) = С. (80)

Справді, сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з імовірністю, яка дорівнює одиниці, набуває значення С, а тому
М (С) = С × 1 = С.

2.М (СХ) = СМ (Х). (81)

Для дискретної випадкової величини згідно із (75) маємо

.

Для неперервної:

3. Якщо А і В є сталими величинами, то

. (82)

Для дискретної випадкової величини:

.

Для неперервної випадкової величини:

Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:

Обчислити М (Х).Розв’язання. Скориставшись (76), дістанемо

Якщо випадкова величина Х Î [а; b], то М (Х) Î [а; b], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини.

25. Мода та медіана випадкової величиниМодою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:f (Mо) = max.Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними.Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій: (83)Отже, медіану визначають із рівняння (83).Приклад 5. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати. Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний проміжок часу, — величина стала і дорівнює 0,8.Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х — числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок часу. Знайти Мо.Розв’язання. Можливі значення випадкової величини:Х = 0, 1, 2, 3.Імовірності цих можливих значень такі:p₁ = (0,2)³ = 0,008;p₂ = 3р q² = 3 × 0,8 × 0,04 = 0,096;p₃ = 3p²q = 3 × 0,64 × 0,2 = 0,384;p₄ = p³ = (0,8)³ = 0,512.Запишемо закон таблицею:

Із таблиці визначаємо Мo = 3.Отже, дістаємо одномодальний розподіл.Ме— можливе значення випадкової величини Х, причому таке, що пряма, проведена перпендикулярно до відповідної точки на площині Х = Ме, поділяє площу фігури, яка обмежена функцією f (x), на дві рів­ні частини.