Біном Ньютона. Трикутник Паскаля. Властивості біноміальних коефіцієнтів

З елементарної математики відомі формули скороченого множення:

.

Ці формули можна записати і так:

.

Очевидно, існує загальна закономірність.

Теорема 5.1.9. Справедлива рівність:

.

Цю рівність називають біномом Ньютона.

Біноміальні коефіцієнти можна подати у вигляді трикутної таблиці, яку називають трикутником Паскаля:

У п-му рядку трикутника Паскаля кожен коефіцієнт розкладу, крім двох крайніх, що дорівнюють 1, – це сума відповідних коефіцієнтів із попереднього рядка.

Узагальненням бінома Ньютона є наступна теорема:

Теорема 5.1.10 (поліноміальна теорема). Справедлива рівність:

,

де .

Числа називають біноміальними коефіцієнтами.

Властивості біноміальних коефіцієнтів:

1. (випливає з теореми 4.1.6, якщо замінити у формулі k на (n–k), то (n–k) заміниться на (n– (n–k))=k).

2. (формула симетрії).

3. (формула додавання).

4. ( – кількість всіх розміщень з повтореннями з елементів 2-х типів).

5. (формула винесення за дужки).

6. .

7. .