Розв’язання. Скориставшись умовою нормування (108), дістанемо:

Скориставшись умовою нормування (108), дістанемо:

Зі знайденим а закон системи набирає такого вигляду:

Х = х_j Y = y_i	5,2	10,2	15,2	P_yi
2,4	0,01	0,2	0,09	0,3
4,4	0,2	0,02	0,18	0,4
6,4	0,19	0,08	0,03	0,3
P_xj	0,4	0,3	0,3

Основні числові характеристики обчислюємо за формулами (109) — (116):

Оскільки Κ_ху > 0, то між відповідними величинами існує кореляційний зв’язок. Для вимірювання тісноти кореляційного зв’язку обчислимо коефіцієнт кореляції

33. Функція розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин та її властивості

Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин (Х, Y) називають таку функцію двох аргументів х, у, яка визначає ймовірність cпільної появи подій (X < x) I (Y < y):

F(x,y) = P((X < x) I (Y < y)). (123)

Геометрично ця функція зображена на рис. 62

Рис. 62

Властивості F(x, y)

1. 0 £ F(x, y) £ 1, оскільки 0 £ P((X < x) I (y < y)) £ 1.

2. Якщо один із аргументів F(x, y) прямує до + , то функція розподілу системи прямує до функції розподілу одного аргументу, що не прямує до + , а саме:

(124)

(125)

3. . (126)

4. (127)

5. F(x, y) є неспадною функцією аргументів х і у.

6. Імовірність влучення точки (Х, Y) в довільний прямокутник
(a < X< b, c < Y < d) обчислюємо так:

P(a < x < b, c < y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c). (129)

Приклад 4. Закон розподілу системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) задано функцією розподілу ймовірностей

Обчислити P(0 < x < 4,0 < y < 2).

Розв’язання. Відповідну графічну схему зображено на рис. 65.

Рис. 65

Далі згідно зі (129) маємо:

P(0 < x < 4; 0 < y < 2) = F(4; 2) + F(0; 0) – F(0; 2) – F(4; 0) = 1 – e^{– 8} – e^{– 6}+ e^{– 14}.

34. Щільність імовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y), f(x, y) та її властивості

Характеристикою системи неперервних випадкових величин є щільність імовірностей.

Для визначення щільності ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) застосовується формула (129).

Розглянемо прямокутник зі сторонами Dх та Dу (рис. 66).

Рис. 66

Імовірність розміщення системи (Х, Y) у прямокутній області
(x < X < x + Dx, y < Y < y + Dy) обчислюється за формулою

P(x < X < x + Dx, y < Y < y + Dy) = F(x + Dx, y + Dy) + F(x, y) – F(x + Dx, y) – F(x, y + Dy).

Поділивши цю ймовірність на площу прямокутника Dx, Dy і спрямувавши Dx ® 0, Dy ® 0, дістанемо ймовірність у точці, тобто щільність:

Отже,

(130)

Функція f (x, y) може існувати лише за умови, що F (x, y) є неперервною за аргументами х і у та двічі диференційовною.

Функції f (x, y) у тривимірному просторі відповідає певна поверхня — так звана поверхня розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y).

Тоді f (x, y) dxdy — імовірність розміщення системи двох випадкових величин у прямокутнику зі сторонами dx, dy.

Властивості f (x, y)

1. Функція f (x, y) ³ 0, оскільки F(x, y) є неспадною відносно аргументів х і у.

2. Умова нормування системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) така:

(131)