Математичне сподівання Функції одного випадкового аргументу

1. Математичне сподівання (190)

2. Дисперсія . (191)

3. Середнє квадратичне відхилення (192)

Приклад 2. За заданим законом розподілу

Обчислити М (Y), D (Y), s (Y), якщо Y = cos² х.

Розв’язання. Побудуємо закон розподілу Y.

Y = cos2 хi
Р (Y = cos2 хi) = pi	0,1	0,2	0,1	0,1	0,2	0,1	0,2

або

Y = cos2 хi
Р (Y = cos2 хi) = pi	0,1	0,2	0,1	0,1	0,2	0,1	0,2

Y = cos2 хi
Р (Y = cos2 хi) = pi	0,1	0,2	0,1	0,1	0,2	0,1	0,2

39.Функції двох випадкових аргументів
та їх числові характеристики

У загальному випадку функцію двох аргументів Х і Y можна позначити як

, (202)

де є невипадковою функцією.

Якщо Х та Y є дискретними випадковими величинами, то і Z буде дискретною. Якщо Х та Y є неперервними, то і Z буде неперервною.

4.1. Знаходження F (z), f (z), якщо Z = Х + Y

Розглянемо функціональну залежність Z = Х + Y, де Х і Y є неперервними випадковими величинами.

Потрібно за відомою щільністю f (x, y) знайти F (z), f (z).

Імовірність влучення Z в області Z < z, а саме Z < Х + Y зображено на рис. 76.

Рис. 76

Ця ймовірність обчислюється так:

(203)

або

(204)

Оскільки

,

,

то формули (203), (204) можна подати так:

(205)

(206)

Тоді щільність імовірностей для випадкової величини Z буде така:

Отже,

(207)

(208)

Якщо випадкові величини Х і Y є незалежними, то f (x, y) =
= f (x) f (y). За цієї умови формули наберуть такого вигляду:

(209)

(210)

Формули (209), (210) називають згорткою, або композицією, двох законів. 4.3. Знаходження F(Z), f (z), якщо Z = ХY.

4.2. Знаходження F (z), f (z), якщо

Оскільки пряма Y = ZХ ділить площину хОу на дві непересічені області, зображені на рис. 82.

Рис. 82

В області D₁ виконується випадкова подія і в області . Отже, імовірність події дорівнюватиме сумі ймовірностей двох несумісних випадкових подій, що зможуть відбутися або в області , або в області :

.

Отже,

(211)

або

(212)

Щільність імовірностей

Остаточно маємо:

(213)

Якщо Х і Y є незалежними, то

. (214)