Тема 11. Практический маркетинг

11.1. Функция рыночного спроса

Функцией спроса называется зависимость величины спроса от влияющих факторов в течение определенного периода времени. Функция спроса может быть представлена в виде следующего равенства:

Q = q(Ц, Ц_д, Ц_з, Д_п, В_п, О_п), (11.1)

где:

Q – величина спроса на товар;

Ц – цена товара;

Ц_д – цена товаров, дополняющих данный товар в потреблении;

Ц_з – цены товаров, заменяющих данный товар в потреблении;

Д_п – доход потребителей товара;

В_п - вкусы потребителей;

О_п – ожидания потребителей.

Все факторы, кроме цены данного товара, называются неценовыми. Очевидно, что одновременное рассмотрение всех факторов, влияющих на величину спроса, затруднительно. Допустим, что неценовые факторы спроса на рассматриваемом периоде времени не меняются.

Зависимость величины рыночного спроса от цены данного товара называется функцией спроса от цены при прочих равных условиях.

Между ценой данного товара Ц и величиной спроса на него Q существует обратная зависимость: чем выше цена, тем меньше величина спроса и наоборот, чем меньше цена, тем больше величина спроса. Зависимость между ценой спроса и величиной спроса, называется законом спроса. Он подтверждается на практике. Изменение цены приводит к изменению величины спроса, что означает движение вдоль кривой спроса.

Если функция спроса имеет линейный характер, то

Q = a – b * Ц, (11.2)

где: а и b – постоянные коэффициенты.

Коэффициенты а и b определяются путем продолжения линии спроса до пересечения с координатными осями.

Наклон кривой спроса для любых значений цены и величины спроса будет: dQ /dЦ= - b, т.е. постоянен и отрицателен. (см.рис.11.1).Отрицательный знак показывает, что с увеличением величины Ц спрос Q будет уменьшаться и наоборот.

Ц

Q = a – b* Ц

a/ b

Ц₁ Е

0 Q₁ а Q

Рис. 11.1. Линейная функция спроса

Для нелинейной функции спроса наклон кривой спроса будет изменяться при изменении цены. Так, если

Q = А*Ц ^–э (11.3)

где «А» и «Э» - постоянные коэффициенты, то используя ранее рассмотренную функцию (8.1) получим для коэффициента «А» следующее выражение:

А = Q₁ * Ц₁^э

Наклон этой кривой спроса равен dQ/dЦ = - А* э* Ц^-(э+1), т.е. он отрицателен и зависит от цены (См. рис. 11.2). Отрицательный знак отражает характер зависимости (11.3): с увеличением цены величина спроса будет уменьшаться.

Ц

D₁

Q = А*Ц ^-э

Ц₁ Е

0 Q₁ Q

Рис. 11.2. Нелинейная функция спроса

Воздействие неценовых факторов приводит к изменению спроса на товар. В этом случае кривая спроса D₁ сдвигается вправо, если эти факторы вызывают увеличение спроса D₂, и влево, если факторы вызывают уменьшение спроса D₃ (cм. рис. 11.3).

Ц

D₂ D₂ > D₁> D₃

D₁

D₃

Q

Рис.11.3.Сдвиг рыночного спроса вследствие влияния неценовых факторов

Рассмотрим смысл понятия эластичности «э». При исследовании рынков возникает необходимость связать изменения цены и объёма спроса в одном показателе. Использование для этой цели абсолютных величин неприемлемо, так как цены измеряются в денежных единицах, а объём спроса в натуральных величинах. Поэтому речь может идти только об относительных изменениях цен и объемов, не зависящих от единиц измерения. Таким показателем является эластичность, характеризующая меру реагирования относительного изменения одной переменной величины на относительное изменение другой переменной величины. Величина эластичности спроса по цене показывает процентное изменение спроса на товар в результате изменения его цены на один процент.

Покажем это с помощью формулы (11.3):

Q = А * Ц^-э = Q₁ * Ц₁^э * Ц^-э

Выполним следующие преобразования:

Q / Q₁ = (Ц₁ / Ц)^э, далее применяя процедуру логарифмирования получим:

lnQ – lnQ₁ = э * (lnЦ₁ – lnЦ) и после дифференцирования:

dQ /Q = - э * dЦ /Ц. Таким образом:

э = │dQ /Q│ : │dЦ /Ц│ (11.4)

Для дискретной функции спроса эластичность спроса по цене определяется по формуле:

э = │∆Q/Q│ : │∆Ц/Ц│ (11.5)

где: Э – эластичность спроса по цене,

∆Q – изменение величины спроса на участке кривой спроса,

∆Ц – изменение цены на этом участке кривой спроса.

Иллюстрируем применение формулы (11.5) для участка кривой спроса между точками с координатами (Q₁, Ц₁) и (Q₂, Ц₂). В результате получим:

э = (Q₂ – Q₁) / (Q₂ + Q₁)/2 : (Ц₂ – Ц₁) / (Ц₂ + Ц₁)/2 (11.6)

В данном случае определяется средняя величина эластичности на рассматриваемом участке кривой спроса.

Анализируя возможные варианты изменения показателей в формуле (11.6) можно установить границы изменения эластичности

∞ ≥ э ≥ 0

Рассмотрим изменение эластичности при движении по линейной функции спроса. С этой целью воспользуемся формулой (11.4) в следующем виде:

э = │dQ /Q│ : │dЦ /Ц│=│dQ/dЦ│ * │Ц / Q│

Как было показано выше для линейной функции спроса Q = а – b * Ц наклон dQ/dЦ не зависит от цены и величины спроса, он равен dQ/dЦ = - b . Напротив, с изменением цены отношение Ц/Q, равное тангенсу угла α, будет меняться (см. рис. 11.4, позиции 1,2,3).

Ц

Эластичный спрос

Э = ∞

а/b 3 Э = 1 Неэластичный спрос

а/2b 2 1

Ц Ц Ц Э = 0

Q α Q=а/2 Q а Q

Рис.11.4. Изменение эластичности спроса по цене

Таким образом, для линейной функции спроса эластичность спроса по цене является переменной величиной. Определим диапазон её изменения (см. рис.11.4):

- если Q = а, то Ц = 0, следовательно Э = 0;

- если Ц = а/b, то Q = 0, следовательно Э = ∞;

- если Q = а/2, то Ц = а/2b, следовательно Э = │dQ/dЦ │* Ц/Q =

b * (а/2b : а/2) = 1 .

Таким образом, точка единичной эластичности спроса по цене находится в середине линии спроса. Спрос является:

· неэластичным при 1 < Э ≤ 0,

· эластичным при ∞< Э < 1,

Эластичность спроса по цене зависит от наличия товаров, которые могут заменить данный товар в потреблении. Чем больше заменителей имеет данный товар, тем эластичнее спрос по цене на этот товар. Например, к таким товарам относятся автомобили, дорогая мебель.

Эластичность спроса по цене зависит от степени агрегирования товаров. Чем более агрегирована группа товаров, тем меньше у нее заменителей, тем неэластичнее спрос. Например, такой спрос наблюдается в случае приобретения товаров первой необходимости: продуты питания, одежда.

Обычно в долгосрочном периоде спрос на один и тот же товар более эластичен, чем в краткосрочном периоде.

Общая выручка «В» от продажи товара равна произведению цены на количество проданного товара:

В = Ц * Q (11.7)

На графиках линейной и нелинейной функций спроса величина выручки равна площади прямоугольника Ц₁ЕQ₁O под кривыми спроса (см.рис.11.2 и 11.3).

С учётом (11.2) для линейной функции спроса получим:

В = Ц * (a – b Ц), (11.8)

Анализ функции (11.8) показывает, что выручка В имеет максимум при Ц= а/2b и Q = а/2 (см.рис.11.5).

В

Эластичный спрос

а²/4b Неэластичный спрос

1 1

2 2

0 а/2 а/b Q

Рис.11.5. Определение максимума выручки в случае линейной функции спроса.

Максимальное значение выручки будет:

В_max = а/2b *а/2 = а²/4b (11.7)

Таким образом, при снижении цены товара (вариант 1-1) общая выручка продавцов возрастает от «О» до максимального значения на участке эластичного спроса, а затем она снижается от максимального значения до «О» на участке неэластичного спроса. Наоборот, при повышении цены товара (вариант 2-2) общая выручка продавцов возрастает от «О» до максимального значения на участке неэластичного спроса, а затем снижается от максимального значения до «О» на участке эластичного спроса (см. рис.11.4).

Рассмотрим теперь нелинейную функцию спроса (11.3):

Q = A*Ц^-э

Как видно, для данной функции спроса эластичность спроса по цене постоянна и равна абсолютному значению показателя степени, т.е. «э». При э=1 такая функция представляет собой гиперболу. В данной модели предполагается, что величина «Э» для всей кривой спроса является постоянной величиной.

Общая выручка продавцов в функции цены будет составлять:

В = Q* Ц = А* Ц^1-э =Q₁* Ц₁ ^э *Ц^1-э (11.8)

Общая выручка продавцов в функции величины спроса будет составлять

В = Ц * Q = Ц₁* Q₁^1/э * Q ^1-1/э (11.9)

Из анализа формулы (11.9) следует, что характер функции В(Q) в зависимости от величины показателя «Э» будет изменяться. На следующем графике показана функция В(Q) для различных значений показателя «Э»:

Выручка «В»

Э>1

Э< 1

Э=1

Q

Рис.11.6. Изменение выручки при разных величинах показателя эластичности «Э»

При величине э=1 общая выручка продавцов будет постоянна и равна:

В = Ц*Q = Ц * A*Ц^-1 = А = Q₁* Ц₁ (11.10)

Таким образом, когда функция спроса представляет собой гиперболу, выручка продавцов не зависит от величины спроса Q.

При эластичном спросе (Э > 1) выручка, как видно из графика, будет расти с увеличением объема выпускаемой продукции.

При неэластичном спросе (Э < 1) выручка будет уменьшаться с увеличением объема выпускаемой продукции.

Эти положения следует учитывать при

11.2. Оценка безубыточности деятельности фирмы

Метод оценки безубыточности основан на разделении затрат на категории: условно-постоянные и условно-переменные.

К условно-постоянным затратам относятся затраты фирмы, которые не зависят от объёма выпуска продукции. На рассматриваемом периоде времени они могут считаться постоянными. К таким затратам относятся амортизационные отчисления, заработная плата административно-управленческого персонала фирмы, плата за аренду, оплата освещения и отопления, коммерческие расходы и т.д.

К условно-переменным затратам относятся затраты фирмы, которые пропорциональны объёму выпускаемой продукции. К таким затратам относятся заработная плата рабочих, расходы на материалы и сырьё, расходы на виды энергии, используемые в технологическом процессе производства, и т.д.

При данном подходе общие затраты R определятся по формуле:

R = C +V, (11.11)

где: С – условно-постоянные затраты,

V – условно-переменные затраты.

Прибыль от продажи продукции можно оценить по следующей формуле:

ПР = В – R = В – С – V (11.12)

где: В – выручка продавцов от продажи продукции,

В выражении (11.12) выручку В можно определить по формуле:

В = Ц * Q (11.13)

Условно-переменные затраты V можно оценить по следующей формуле:

V = v * Q, (11.14)

где: v – удельные условно-переменные затраты.

С учётом (11.13) и (11.14) получим следующее выражение для определения прибыли от продажи товаров:

ПР = Ц*Q - v*Q – C = (Ц – v)*Q – C (11.15)

Построим рассматриваемые зависимости на графике рис.11.7.

В,V,С

В_max В

а V + C

С

0 Q_а Q_max Q

Рис.11.7. Определение точки безубыточности

На рисунке:

В_max, Q_max – показатели фирмы при полном использовании всех ресурсов;

«а» - точка безубыточности, соответствующую условию В = V + C;

Q_а - объём производства продукции в точке безубыточности.

Наклон линии В будет определяться ценой товара Ц. Наклон линии V+C будет определяться величиной удельных условно-переменных затрат v. Для оценки величины Q_а воспользуемся уравнением (11.13) при условии ПР = 0:

Q_а = С / ( Ц - v) (11.16)

Приведенные на рис. 11.7 зависимости следует рассматривать при следующих основных допущениях:

- фирма производит один товар;

- рыночной спрос на этот товар превышает максимальный объём его производства и предложения рынку;

- рыночной спрос ограничен во времени;

- постоянные затраты, цена товара и удельные условно-переменные затраты не изменяются в течение рассматриваемого периода времени производства.

Из графика на рис. 11.7 следует, что максимальная прибыль будет иметь место при полном использовании на фирме всех имеющихся ресурсов.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда спрос ограничен и функция рыночного спроса будет иметь линейную зависимость цены Ц от объёма товаров Q. С этой целью воспользуемся ранее полученной зависимостью (11.2) Q = а – b* Ц. Подставив это выражение в формулу (11.13) получим формулу для определения прибыли ПР:

ПР = (Ц– v)*( а – b*Ц) – C (11.17)

Рассмотрим конкретный пример:

Исходные данные: Ц = 100 д.е.; v = 50 д.е.; С = 5000 д.е. ; Q_max= 160 изд.;

b = 2,5 ; 3,33; 5 изд/д. е.

По формуле (11.15) рассчитаем значение Q_а в точке безубыточности:

Q_а = 5000/(100 – 50) = 100 изд.

В случае неограниченного спроса при полном использовании ресурсов фирмы определим величину прибыли:

ПР = (100 – 50)*160 – 5000 = 3000 д.е.

Для учёта функции спроса условимся, что на участке изменения Q от 0 до Q_а цена не будет изменяться, оставаясь равной Ц=100 д.е., а на участке от Q_а до Q_max цена будет изменяться в соответствии с законом спроса (11.2). С учетом этих условий кривую спроса можно записать в следующем виде:

Q =100 – b* (Ц – 100)

В таблице 11.1 представлены результаты расчётов изменения прибыли ПР в функции Q при различных значениях коэффициента b.

Из приведенных в таблице данных следует, в случае учёта линейной функции спроса прибыль может иметь на рассматриваемом участке максимум, положение которого зависит от величины коэффициента b. При b = 2,5 максимум имеет место, когда Q = 110, при b = 3,33, когда Q = 130 и при b = 5 , когда Q > 160.

Приведенный пример показывает необходимость при оценке прибыли предприятия учитывать функцию спроса.

11.3. Оптимизация ассортимента выпускаемых товаров

В основе метода оптимизации используется многопродуктовая модель производства, т.е. рассматриваемое предприятие может выпускать товары нескольких видов. При этом каждый из видов товаров проходит при изготовлении свой технологический цикл. Рассмотрим эту задачу на следующем примере: требуется определить оптимальный ассортимент товаров, изготовление и реализация которых позволит предприятию получить на рынке максимальный доход.

Таким образом, по условию задачи предприятие имеет ряд технологических линий, необходимых для изготовления нескольких видов товаров. Присвоим этим линиям соответствующие номера: линия N 1, линия N 2, линия N 3 и т.д. - всего «m» линий. Технологические линии располагают определёнными производственными мощностями соответственно В₁, В₂, В₃ , ... , В_m . На этих линиях предприятие может изготавливать товары «n» различных видов. При изготовлении каждого из товаров осуществляется определенная последовательность разных технологических операций. Составим систему балансовых уравнений, характеризующих загрузку мощности каждой технологической линии:

линия N 1: А₁₁*Х₁ + А₁₂*Х₂ + А₁₃*Х₃+ ………+А_1nХ_n £ В₁

линия N 2: А₂₁*Х₁ + А₂₂*Х₂ + А₂₃*Х₃+ ………+А_2nХ_n £ В₂

.................................................................…………………… (11.17)

линия N m: А_m1*Х₁ + А_m2*Х₂ + А_m3*Х₃+ ……+А_mnХ_n £ Вm

где А_mn - удельная мощность «m»-ой линии, затрачиваемая на изготовление единицы продукции «n»-го вида;

Х - количества изготавливаемой продукции различного вида;

1,2,...,n – видовая номенклатура продукции.

Знаки неравенства в уравнениях (11.17) показывают, что загрузка каждой из линий не должна превышать располагаемых мощностей.

Для оценки экономических показателей рассматриваемого процесса используем математический аппарат методики анализа безубыточности. Если обозначить через ПРуд₁, ПРуд₂ …….ПРуд_n – прибыли от реализации, получаемые от продажи единицы товара различного вида (1, 2,..., n), где:

ПРуд₁=Ц₁-v₁- C₁/Х₁;

ПРуд₂=Ц₂ – v₁ – C₂/Х₂ и т.д.,

то суммарная прибыль предприятия от реализации всех товаров может быть оценена по формуле:

ПРсум= (Ц₁-v₁)*Х₁+ (Ц₂ – v₂)*Х₂ +……. – (С₁+С₂+С₃+…), (11.18)

где: Ц₁,Ц_2…Ц_n – цены разных видов выпускаемой продукции;

v₁, v₂.. v_n – удельные переменные затраты по видам выпускаемой продукции;

С₁,С₂… C_n – постоянные затраты, относимые на различные виды выпускаемой продукции.

В затратах учитываются производственные издержки (себестоимость), коммерческие и управленческие расходы.

Зависимость (11.18) может использоваться для формирования целевой функции.

Цель состоит в том, чтобы определить ассортимент товаров (1,2,...,n) и значения объемов их выпуска (Х1, Х2, Х3……. ), при которых суммарная прибыль от реализации ПРсум будет иметь максимальное значение.

Эта задача может быть решена методами линейного программирования. Рассмотрим вариант использования графического метода линейного программирования. С этой целью упростим условия задачи до двухмерного уровня: m = 2 и n = 2. Система балансовых уравнений и целевой функции примут следующий вид:

1. А₁₁*Х₁ + А₁₂*Х₂ £В₁

2. А₂₁*Х₁ + А₂₂*Х₂ £ В₂ (11.19)

3. ПРсум= (Ц₁-v₁)*Х₁+ (Ц₂-v₂)*Х₂ – (С₁+С₂)

Результаты решения такой системы представлены на графике рис.11.8:

Фигура АВСО на графике определяет область возможных решений Х₁ и Х₂. Точка «В» отвечает условию получения максимальной прибыли ПР_макс. Эта точка определяет искомые решения Х_1опт и Х_2опт. Часто для упрощения процедуры анализа в качестве критерия вместо показателя ПР_макс используется максимальная величина суммарной выручки В_макс. В этом случае последнее уравнение системы (11.19) можно записать в следующем виде:

В = Ц₁*Х₁+ Ц₂*Х₂,

где: В - суммарная выручка предприятия от продажи товаров.

Рис. 11.8. Решение задачи методом линейного программирования

Недостаток данного подхода в том, что при этом не учитываются производственные издержки.

Рассмотрим числовой пример с использованием в качестве критерия максимальной прибыли.

Пример. Предприятие производит два вида чехлов (обозначим их «А» и «В») спортивного назначения.

При изготовлении чехлов осуществляются следующие технологические операции:

1. Раскрой и окраска материала (РиО)

2. Шитье чехлов (Ш)

3. Заключительная операция (З)

4. Контроль и упаковка чехлов (КиУ).

Удельные трудоемкости этих операций в нормо-часах представлены в следующей таблице:

Обозначим:

Х₁ - искомое число чехлов «А»;

Х₂ - искомое число чехлов «В».

Продажная цена чехла «А» равна 15 д.е., удельные переменные затраты v_A = 5 д.е., постоянные затраты, относимые на производство чехлов «А», в расчёте на месяц С_A = 200 д.е.

Продажная цена чехла «В» равна 13 д.е., удельные переменные затраты v_в = 4 д.е., постоянные затраты, необходимые для производства чехлов «В», в расчёте на месяц С_в = 300 д.е.

Прибыль предприятия от реализации чехлов за месяц при производстве обеих видов чехлов может быть определена по следующей формуле:

ПРсум = (15-5)*Х₁ + (13-4)*Х₂ – (200+300)=10*Х₁+9*Х₂-500

Располагаемые мощности за месяц в нормо-часах представлены в следующей таблице:

На основе приведенных данных можно составить следующую систему балансовых уравнений:

1. 7/10*Х₁+ Х₂ £ 630

2. 1/2*Х₁+ 5/6*Х₂ £ 600

3. Х₁ + 2/3*Х₂ £ 708 (11.20)

4. 1/10*Х₁+ ¼*Х₂ £135

5. Х₁, Х₂ ³ 0

Условие достижения максимальной прибыли предприятия от реализации (целевая функция) можно записать в следующем виде:

(10*Х₁ + 9*Х₂ -500) è max (11.21)

Рассмотрим решение задачи графическим методом линейного программирования. Решение представлено на графике рис.11.9. На графике образовалась фигура ABCDO.

Подставляя в целевую функцию (11.21) координаты точек «А», «В», «С» и «D» фигуры АВСDО определим, что в точке «С» целевая функция будет иметь максимальное значение. Координаты точки «С» имеют следующие значения:

Х_1опт = 540 шт; Х_2опт = 252 шт.

Прибыль предприятия в точуе «С» составит ПР_макс = 7668 – 500 = 7168 д.е. При всех других вариантах (точки А,В и D) прибыль будет меньше. На графике уравнение 10*Х₁+9*Х₂ = 7668 д.е проходит через точку «С» фигуры АВСDО.

Рис. 11.9. Решение задачи оптимизации производства чехлов

Определим степень использования располагаемых мощностей технологических линий в случае реализации оптимального решения:

Из таблицы видно, что технологическая линия «Ш» будет существенно недогружена (120 часов), небольшая недогрузка будет иметь место также на технологической линии «КиУ» (18 часов). Руководство предприятия должно учесть эти данные при окончательном планировании работы цеха.

В рассмотренном случае ассортимент товаров фирмы должен включать два вида, но это справедливо не всегда.

Предположим, что спрос рынка на чехол «А» существенно упал и чтобы сохранить производство цена на этот чехол была уменьшена с 15 до 10 д.е..Тогда при сохранении тех же балансовых уравнений целевая функция будет иметь следующий вид:

(5*Х1+ 9*Х2 - 500 ) è max

Используя прежний методический подход определим, что в этом случае оптимальное решение будет иметь место в точке «В», что соответствует Х_1опт = 300 шт., Х_2опт = 420 шт. Прибыль от реализации будет равна: ПР_макс = 5*300 + 9*420 – 500 = 4780 д.е.

Рассмотрим еще один вариант этой задачи.

Допустим, что руководством фирмы на основе маркетинговых исследований принято решение о необходимости производства чехлов в следующих количествах:

чехол «А» - 500 шт., чехол «В» - 360 шт.

Какие в этом случае понадобятся дополнительные ресурсы? Результаты расчетов представлены в следующей таблице:

Из таблицы видно, что существенные дополнительные ресурсы в этом случае потребуются для первой (РиО) и третьей (З) технологических операций.

При существенном различии цен на чехлы «А» и В» целевая функция может стать максимальной в точках «А» или «D» графика. В этих случаях оптимальный ассортимент товаров фирмы будет состоять только из товара «А», или только из товара «В». Читателю предлагается провести самостоятельные исследования этих вариантов.

11.4. Оптимальное распределение товаров по целевым рынкам

Рассмотрим деятельность компании, которая имеет два производственных предприятия, выпускающих идентичные товары и расположенных в различных городах. Товары этих предприятий могут реализовываться на трех целевых рынках, расположенных в разных географических регионах, куда они доставляются различными видами транспорта. Ёмкости целевых рынков ограничены. Компания заинтересована, чтобы при условии полной реализации продукции предприятий суммарные транспортные расходы компании по доставке товаров на целевые рынки были минимальными.

Таким образом, задача заключается в оптимальном распределении потоков товаров по рынкам при условии, что емкости рынков должны быть полностью использованы. Описанная ситуация представлена на следующей схеме:

Рис. 11.10 Схема распределения товаров по рынкам

П₁, П₂ – мощности предприятий по производству товаров;

Р₁, Р₂, Р₃ - ёмкости рынков;

Х₁₁…….Х₂₃ - искомые потоки товаров.

Исходные данные представлены ниже:

П₁= 20 000 шт., П₂= 30 000 шт.

Р₁ = 10 000 шт., Р₂ = 30 000 шт., Р₃= 10 000 шт.

Удельные стоимости перевозок товаров (у.е./шт.) приведены в следующей таблице:

С учётом приведенных данных составим систему балансовых уравнений:

Х₁₁ + Х₁₂ +Х₁₃ = 20000

Х₂₁ + Х₂₂ + Х₂₃ = 30000 (11.22)

Х₁₁ + Х₂₁ = 10000

Х₁₂ + Х₂₂ = 30000

Х₁₃ + Х₂₃ =10000

Формула для определения суммарных затрат «R» компании на перевозки товаров (целевая функция) будет иметь следующий вид:

R = 4*Х₁₁ + 9*Х₁₂ +3*Х₁₃+4*Х₂₁ + 8*Х₂₂ + 1*Х₂₃ (11.23)