Тема 4. Комплексные числа.
Основные теоретические сведения.
1. Выражение вида z=x+yi= 
называется комплексным числом(в алгебраической и тригонометрической форме соответственно). Здесь 
мнимая единица, x=Rez действительная часть, а y=Imz–мнимая часть комплексного числа z; 
и 
модуль и аргумент числа z:
. (1)
Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (рис.7).
рис.7
2.Арифметические действия над комплексными числами.
Два комплексных числа 
и 
называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. 
, если 
, 
.
Сложение (вычитание) комплексных чисел:
(2)
Умножение комплексных чисел:
(3)
В частности,
, т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен 
.
Деление двух комплексных чисел
(4)
3.Извлечение корня n-й степени (n–натуральное число) из числа z= (z 
)производится по формуле
(5)
где 
арифметический корень из модуля z, a k=0,1, … , n 
1.
Пример 1. Найти полярные координаты точки М ( 
; ) (рис.8).
|
|
рис. 8
Решение. Используя формулы (1), находим полярный радиус и полярный угол точки М: 
, 
, т.к. точка М лежит в IV четверти.
Пример 2. Даны комплексные числа 
Найти 
, 
, 
.
Решение. 
(учли, что 
).
Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число 
, получим
Пример 3. Изобразить на комплексной плоскости числа:1) 
,
2) 
=2 
Записать число z1 в тригонометрической, а число z2 в алгебраической форме.
Решение. 1) Для числа z1 имеем x1=Re z1= 
, y1=Im z1=0. Откладывая по оси Оx x1= , а по оси Оy 
=0, получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу z1 (рис.9).
Рис.9
Модуль этого числа находим по формуле (1): 
. Аргумент определяем из равенства 
. Так как число z1 находится в левой полуплоскости, то его аргумент 
.
Тригонометрическая форма числа z1 имеет вид z1=8 
.
2) Модуль числа z2 равен 
, а аргумент 
. Для его изображения на комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом к полярной оси и откладываем на нем отрезок длиной =2. Полученная точка соответствует числу z2 (рис.9). Его действительная часть 
а мнимая часть 
. Таким образом, алгебраическая форма числа z2 имеет вид: 
Пример 4. Вычислить 
.
Решение. 
Модуль числа равен 8, а аргумент равен 
. Используя формулу (2), получаем
При k=0:
При k=1:
.
При k=2:
Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 1267;