Тема 5. Введение в анализ
Основные теоретические сведения
1. Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент у из Y, то говорят, то говорят, что на множестве Х задана функция(или отображение) со множеством значений Y. Это можно записать так: или , где множество Х называется областью определения функции, а множество Y, состоящее из всех чисел вида , множеством значенийфункции.
2. К основным элементарным функциям относятся:
1) степенная функция y= , где ;
2) показательная функция y=ax, где ;
3) логарифмическая функция y= , где ;
4) тригонометрические функции: , ;
5) обратные тригонометрические функции: y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
3. Число А называется пределом функции f (x) при , если для любого найдется такое, что при
Это записывают так: .
Практическое вычисление пределов основывается на следующих свойствах.
Если существуют и , то
1) ;
2) ;
3) (при )
4. Функция f(x) (F(x)) называется бесконечно малой (бесконечно большой) при , если .
5. Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводят к неопределенностям вида . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются: 1) сокращение на множитель, создающий неопределенность; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при ); 3) использование двух замечательных пределов:
Отметим также, что
Пример 1.Найти
Решение. Подставляя вместо x его предельное значение, равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе – бесконечно малую функцию:
Поэтому
Пример 2.Найти .
Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на x4. В результате получим
поскольку при функции 5/x3 и 7/x4 являются бесконечно малыми.
Пример3.Найти
Решение. Подстановка x= приводит к неопределенности . Произведем замену переменных: Тогда
Здесь использован второй замечательный предел.
Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 926;