Кривых, заданных общим уравнением
Если сравнить канонические уравнения эллипса, окружности, гиперболы и параболы с общим уравнением кривой второго порядка (1), то видно, что в них коэффициенты B=D=E=0. Если в этом уравнении , или то чтобы привести уравнение к каноническому виду, определить тип кривой и построить ее, необходимо сделать преобразование координат.
Если в уравнении (5) или , то центр симметрии эллипса или гиперболы, или центр окружности, или вершина параболы находятся не в начале координат, а в некоторой точке Строить кривую в данном случае удобно, перенеся начало координат в эту точку, то есть сделав замену
При такой замене в новой системе координат с началом в точке и осями и уравнение кривой будет иметь канонический вид.
Приведем уравнения различных прямых:
1. Уравнение эллипса с центром симметрии в точке
2. Уравнение гиперболы с центром симметрии в точке
здесь вершины в точках (а; 0) и ( ; 0);
здесь вершины в точках (0; b) и (0; ).
3. Уравнение параболы с вершиной в точке
ось симметрии параллельна Оx;
ось симметрии параллельна .
Знак показывает направление ветвей параболы. Если в уравнении знак , то направление ветвей совпадает с направлением оси, которой параллельна ось симметрии параболы, а если , то направление ветвей противоположно направлению оси, которой параллельна ось симметрии параболы.
Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: А( ;8), B(5; ), C(10;6). Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину.
Решение: 1. Подставив в формулу (1) координаты точек А и В, имеем:
2. Подставив координаты точек А и В в формулу (2), получим уравнение прямой АВ:
3y = x , 4x+3y =0 (AB).
Для нахождения углового коэффициента прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно y: y= Отсюда = Найдем уравнение прямой АС:
х+7y–5 =0 (AC).
Отсюда =
3. Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее = =
1= рад.
4. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид:
Подставив координаты точки С и получим уравнение высоты CD:
(CD).
Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):
откуда x=2, y=0, то есть D(2;0).
Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:
Пример 2. Построить кривую, заданную уравнением приведя его к каноническому виду.
Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:
;
Получим уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси . Перенеся начало координат в точку , получим в системе координат уравнение
где параметр р определяется из условия 2р=6, или р=3.
Парабола симметрична относительно оси или относительно прямой x= .
Фокус параболы находится на ее оси и отстоит от вершины на Поскольку из уравнения следует, что то ветви параболы направлены вниз и фокус F лежит на ниже вершины, то есть его координаты .
Директрисой параболы является прямая, перпендикулярная ее оси и находящаяся на расстоянии от вершины, причем фокус и директриса расположены по разные стороны от вершины. Учитывая все это, можно записать уравнение директрисы y=0,5+1,5, или y=2. Кривая приведена на рис.5.
Рис.5
Если в уравнении (5) то оси симметрии кривой не параллельны координатным осям. Чтобы получить каноническое уравнение кривой, необходимо повернуть систему координат.
Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 1270;