Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными.

Пусть дан знакопеременный ряд

. (4)

Рассмотрим знакоположительный ряд, состоящий из модулей членов ряда (4):

(5)

Ряд (4) сходится, если сходится ряд (5). В этом случае ряд (4) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (4) сходится, а ряд (5) расходится, то ряд (4) называется условно сходящимся.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд

u₁ – u₂ + …+ (–1)ⁿ⁺¹ u_n + … = (6)

(u_n > 0, n = 1, 2, …),

в котором положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости.

Теорема (признак Лейбница)

Знакочередующийся ряд (6) сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е. .

2. Общий член ряда стремится к нулю, т. е. .

При этом остаток R_n = S – S_n не превосходит по модулю первого отбрасываемого члена т. е.