Типовая задача 4

Написать степенной ряд по заданному общему члену

Найти область сходимости этого ряда.

Решение. При n = 0 получаем свободный член a₀ = 1 данного ряда, при n = 1 — член , при n = 2 — член и т. д.

Получаем следующий ряд:

… .

Находим радиус сходимости данного ряда. Имеем:

Следовательно, (–7; 7) — интервал сходимости ряда. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости, т. е. при x = –7,
x = 7.

Пусть x = –7. Тогда степенной ряд принимает вид

1 + 1 + …+ 1 + … .

Так как , то ряд расходится (достаточное условие расходимости числового ряда).

Пусть x = 7. Получаем следующий знакочередующийся ряд:

Этот ряд расходится, так как не существует предела последовательности 1,0,1,0… частичных сумм этого ряда.

Таким образом, (–7; 7) — область сходимости данного степенного ряда.

Ответ: (–7; 7).

Типовая задача 5

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Решение. Воспользуемся разложением функции e^x:

e^x = 1 + x + + … + + … .

Заменив x на , получим:

= 1 – + – … + … .

Умножая обе части последнего равенства на x, будем иметь:

= x – + …+ +… .

Итак, dx = =
= = – + –
– … + … = – + – … + … .

Получаем знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница имеем:

1. .

2. .

Значит, ряд сходится. По этому признаку первый отбрасываемый член по модулю меньше u_n+1. Если u_n+1 взять по модулю меньшим, чем 0,001, то из u_n+1 < 0,001 следует, что остаток R_n меньше 0,001. Имеем:

.

Значит, — первый отбрасываемый член.

Таким образом, с точностью до 0,001

Ответ: 0,393.

4. Задания 6 и 7
по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения»