Признаки сходимости

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (1) сходится, то его общий член u_n стремится к нулю при , т. е. .

Для сходимости ряда (1) требование не достаточно.

Пример. Ряд , называемый гармоническим рядом, расходится, хотя и .

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если или этот предел не существует, то ряд расходится.

Простейшими примерами числовых рядов являются следующие ряды:

1. Обобщенный гармонический ряд (n N, p R).

Он сходится при p > 1, расходится при p £ 1.

2. Ряд, составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии .

При |q| ³ 1 он расходится, при |q| < 1 — сходится.

Перечислим некоторые признаки сходимости для числовых рядов с положительными членами.

Признак Даламбера.Если существует предел , то:

1. При ряд (1) сходится.

2. При ряд (1) расходится.

3. При q = 1 вопрос о сходимости остается открытым.

Признак Коши.Если существует то:

1. При ряд (1) сходится.

2. При ряд (1) расходится.

3. При q = 1 вопрос о сходимости остается открытым.

Признаки сравнения

Пусть даны два ряда

u₁ + u₂ + … + u_n + … , (2)

v₁ + v₂ + … + v_n + … . (3)

1. Если u_n £ v_n и ряд (3) сходится, то сходится и ряд (2).

Если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (3).

Пример. Так как ряд сходится (частный случай при обобщенного гармонического ряда) и , то сходится и ряд .

Пример. Ряд расходится, так как расходится ряд (частный случай при p = обобщенного гармонического ряда) и .

2. Если существует конечный предел , то ряды (2) и (3) сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Ряд является сходящимся, так как существует сходящийся ряд (частный случай при p = 3 > 1 обобщенного гармонического ряда) и конечный предел: