Типовая задача 2

Найти неопределенные интегралы:

1) ;

2) ;

3) .

Результаты проверить дифференцированием.

Решение. 1) Так как , то, положив u = x⁴, получим

.

Отсюда = = = =
= .

Проверка: = = = =
= .

2) Применим формулу интегрирования по частям:

u = arctg2x du = , dv = xdx v = .

Тогда = –
– = – = –
– = – = –
– .

Проверка: = –
– + + с' = + – +
+ + 0 = + – + = = + – + = + =
= .

3) Данная подынтегральная дробь неправильная, поэтому сначала выделим целую часть, поделив числитель на знаменатель:

	x2 – 3x + 2
2x + 6
14x – 13

Итак, .

Отсюда = dx + dx = [х² – 3х + 2 =
= (х – 1) · (х – 2)] = + = I .

Представим правильную дробь в виде суммы простейших:

= = = .

Избавляясь от знаменателей, получим

14х – 13 = (А + В) · х + (–2А – В).

Приравнивая соответствующие коэффициенты при неизвестных в левой и правой частях равенства, получим систему уравнений

Тогда = .

Итак, = +15· =
= + = + + с.

Проверка: = (х²)' + (6х)' –
– (ln |x – 1|)' + (15 · ln|x – 2|)' + c' = 2x + 6 – · (x – 1)' +
+ · (x – 2)' + 0 = 2x + 6 – + =
= =
= =
= = .

Ответ: 1) ; 2) ;

3) + + с.

Типовая задача 3

Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y = x² – 7x +
+ 12, y = x – 3.

Решение. Фигура имеет вид, изображенный на рис. 19.

Рис. 19

Определим координаты точек пересечения линий. Для этого решим следующую систему уравнений:

Абсциссы точек пересечения линий — х = 3, х = 5. Следовательно, пределы интегрирования — а = 3, b = 5.

Таким образом, = =
= = = (кв. ед.).

Ответ: кв. ед.

3. Задания 4 и 5
по теме «Ряды и их применение
к приближенным вычислениям определенных интегралов»