Деякі відомості з диференціальної геометрії
1. Кривизна кривої. Розглянемо просторову криву (рис. 13.1). Проведемо дотичні у двох близьких точках кривої. Орт дотичної у точці 
позначимо через 
, а у точці 
через 
. Перенесемо вектор паралельно у точку . Кут 
між напрямами дотичних у двох близьких точках кривої називається кутом суміжності: 
.
Позначимо дугу 
через 
.
Кривизною кривої у даній точці М називається границя відношення кутасуміжності до абсолютного значення елемента дуги , коли точка необмежено наближається до точки :
. (13.1)
Кривизна кола в усіх її точках однакова. Кривизна прямої дорівнює нулю.
У загальному випадку кривизна кривої не є сталою величиною і змінюється від точки до точки кривої.
Величина, обернена кривизні кривої,називаєтьсярадіусом кривизни кривоївданій точці
. (13.2)
2. Натуральні осі. Проведемо площину через дотичну до кривої у точці і пряму, паралельну дотичній в точці 
, що необмежено наближається до точки ,тобто через вектори 
і , прикладені у точці (рис. 13.1).
Граничне положення цієї площини при наближенні точки до точки називається стичною площиною до кривої в даній точці.
Для плоскої кривої стична площина це площина, в якій розташована крива.
Площина, що проведена через точку кривої перпендикулярно дотичній, називається нормальною площиною.
Нормаль до дотичної, що лежить у стичній площині, називається головною нормаллю. Орт головної нормалі позначимо через 
. Він спрямований у бік угнутості кривої (рис. 13.2).
Лінія, що проведена через точку М, перпендикулярно стичній площині, називається бінормаллю.
Площина, в якій розташовані дотична і бінормаль, називається спрямною площиною. Орт бінормалі 
направлений так, щоб вектори , 
утворили праву систему ортогональних осей.
Тригранник, що утворений стичною, нормальною і спрямною координатними площинами, називається натуральним тригранником.
Три взаємно перпендикулярні осі – дотична, головна нормаль і бінормаль називаються натуральними координатними осями (рис. 13.2).
Початок натуральних осей завжди знаходиться у точці кривої і при русі точки вздовж кривої натуральні осі переміщуються разом з точкою, змінюючи при цьому свій напрям.
3. Похідну від орта дотичної за дуговою координатою 
визначаємо на основі другої основної теореми диференціальної геометрії:
. (13.3)
Пояснимо формулу (13.3). За визначенням похідної витікає, що
.
Вектор 
лежить у площині 
(рис. 13.1). Граничне положення цієї площини визначає стичну площину в даній точці .Коли 
, то кут 
. Отже, вектор 
спрямований у напрямі головної нормалі з ортом 
, тобто: 
= 
.
З рівнобічного (рис. 13.1): 
, де 
. Тоді:
.
Помножимо чисельник і знаменник правої частини цієї формули на 
і після тотожніх перетворень, одержимо:
, 
де, як відомо, перший множник дорівнює одиниці, а другий – кривизні кривої 
, 
– радіус кривизни цієї кривої.
Підставляючи отриманий вираз 
у (13.3), остаточно отримаємо:
. (13.4)
13.2. Теорема про прискорення точки при натуральному способі задання руху:
Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 1267;