Приклад розв’язання задачі. Приклад 1. Знайти рівняння траєкторії і швидкість точки середини шатуна АВ кривошипно-шатунного механізму

Приклад 1. Знайти рівняння траєкторії і швидкість точки середини шатуна АВ кривошипно-шатунного механізму, а також швидкість повзуна В (рис. 12.4), якщо см, радіан.

Розв'язання. Виберемо осі координат і з початком у точці О. Знайдемо рівняння руху точки шатуна. Для цього проведемо з точок та перпендикуляри і до осі . Координати точки визначаються з і :

;

.

Вилучивши з цих рівнянь руху точки час , і, використовуючи значення тригонометричної одиниці, одержимо рівняння траєкторії точки в координатній формі:

.

Це рівняння еліпса з напівосями 60 см і 20 см і центром в точці О.

Траєкторією точки є вся крива, оскільки та змінюються у відповідних межах.

; .

Проекції швидкості точки на координатні осі дорівнюють:

; .

Модуль швидкості точки М змінюється за такою залежністю:

(см/с).

Визначимо координати точки :

; .

Таким чином ,швидкість точки В змінюється за законом:

(см/с).

Лінійка еліпсографа рухається так, що її кінці і ковзають вздовж двох взаємно перпендикулярних прямих, причому кут та змінюється відповідно до рівняння , де . Знайти прискорення точки лінійки, якщо , (рис. 12.5), врахо–вуючи, що .

Розв'язання. Прий–маючи прямі, по яким рухаються точки і лінійки, за координатні осі і з початком у точці , знаходимо рівняння руху точки:

; .

Вилучивши з цих рівнянь час , використовуючи значення тригонометричної одиниці, отримаємо рівняння траєкторії точки М вкоординатній формі:

1.

Це рівняння еліпса з напівосями і з центром на початку координат. Для інших точок лінійки траєкторіями будуть еліпси з іншими напівосями. На цьому принципі заснована конструкція еліпсографа – приладу для викреслювання еліпсів.

Користуючись послідовно формулами (12.6) і (12.17), визначаємо проекції швидкості і прискорення точки М на координатні осі:

;

; .

За формулами (12.17) знаходимо модуль і напрям прискорення розглядуваної точки :

;

; .

Отже, модуль вектора прискорення точки змінюється пропорційно відстані точки від початку координат, а спрямований цей вектор вздовж лінії від точки до центру .